整然たる世界 --「群」の意味--

群論へのお誘い  附:悪魔の方向

 本棚を見ると本が一冊後ろ向きに入っている。白い腹(小口)を見せているのである。昨日慌てて入れたときに背中を奥にして突っ込んでしまったのだろう。
 引っ張り出して背をこちらにして入れ直したら、あら、上下も逆さまだ。そこでもう一度引っ張り出して入れ直す。

 ふーむ。本というのは本棚に正しく入れることもできるし、逆さまにもできるし、後ろ向きにもできるし、逆さまで後ろ向きにもできるのだなあ。で、元へ戻すときには、逆さまの場合はもう一度逆さまにすればいいし、後ろ向きのときはもう一度後ろ向きにすればいいし、逆さまで後ろ向きのときはもう一度逆さまで後ろ向きにすればいいのか・・・

 じゃあ、逆さまにして、後ろ向きにして、もう一度後ろ向きにして、逆さまにして、後ろ向きにして、逆さまにして、もう一度逆さまにして、後ろ向きにして、逆さまにしたら、 直す時には 逆さまにして、後ろ向きにして、もう一度後ろ向きにして、逆さまにして、後ろ向きにして、逆さまにして、もう一度逆さまにして、後ろ向きにして、逆さまにしなければならないのか。
 そんなことはないだろう。しかし激しく不安になってきた。

 

 

 

 やってみたら、一回逆さまにするだけで直った。

 ふーむ。いいじゃないか。もしこうじゃなかったら、自分は生きていく勇気を失うところだった。
 しかしなぜこんなにうまくいったのだろう。ふつう物事はこねくり回しているうちにどんどんこんがらかって収拾がつかなくなってしまうものではなかったっけ?

 確認しておかなければならない。
 いま、本がある状態で置かれているときに、
 そのまま動かさないことを、逆さまにすることを、後ろ向きにすることをと表して式にしてみよう。

 逆さまにしてもう一度逆さまにすると、動かさなかった時と同じ状態に戻るから
 逆+逆=不 だ。また、同じように
 後+後=不 だ。
 (逆+後)+(逆+後)=不 だ。 そして、
 逆+後+後+逆+後+逆+逆+後+逆=逆 となったのだから、
 (逆+後+後+逆+後+逆+逆+後+逆)+逆=不 とできるのだ。どんなに複雑に組み合わせても、元に戻す動作は簡単なのだ。

 整然たる世界に感謝しなければならない。

 

 なんのことだか自分でもよく分からないので、もっと単純な話にしてみよう。

 上のような升目で駒を動かす場合を考えてみる。
 いま、可能な操作の選択肢は二つしかない。「動かす」と「動かさない」の二つである。(「右に動かす」とか「左に動かす」という動作を考えてはいけない。そのようには動かせないことがあるからである。)
 では式を作ってみよう。「動かす」動作は、「動かさない」動作はである。

 動+動=不  (動かした後もう一度動かすと、動かさなかった場合と同じになる。)

 動+不=動  (動かした後動かさないと、一回動かしただけの場合と同じになる。)

 不+動=動  (動かさない後動かすと、一回動かしただけの場合と同じになる。)

 不+不=不  (動かさない後動かさないと、動かさなかった場合と同じになる。)

 つまりはどの動作にどの動作を組み合わせても、結果は単純な動か不かと同じになるのである。
 表の形にするとこうなる。

   動不
   ↓↓
 動→不動
 不→動不

 さて一体この話に何の意味があるというのだ・・・とあなたは言うだろう。

 電灯にスイッチの紐がぶら下がっている。あなたはその下にいる。あなたに許された選択肢は「引っ張る」と「引っ張らない」の二つである。
 あなたは部屋の照明状況を保存したままでいることも出来るし、一変させることも出来るし、どう間違ったとしても必ずすぐにもとの状況に戻すことが可能である。あなたは紐の下で途方にくれてしまう心配をすることは全く必要ないのだ!

 

 ちょっとシーンとしてしまったので、話をひとつ複雑にしてみる。

 
 

 上のように升目を増やして同じように考えてみる。
 駒の動かし方は「縦方向へ」、「横方向へ」、「斜めへ」、「動かない」の四つある。

 縦+縦=不
 縦+横=斜
 縦+斜=横
 縦+不=縦
 横+縦=斜
 横+横=不
 横+斜=縦
 横+不=横
 斜+縦=横
 斜+横=縦
 斜+斜=不
 斜+不=斜
 不+縦=縦
 不+横=横
 不+斜=斜
 不+不=不

 つまり

   縦横斜不
   ↓↓↓↓
 縦→不
斜横縦
 横→
縦横
 斜→
横縦
 不→
縦横斜

 となる。どうもこれは冒頭の本棚の話と同じ構造になっているらしい。確かにどれとどれを組み合わせても縦・横・斜・不のどれか一つと同じことになってしまうのだ。

 (もの足りない人は升目を上下二段に重ねた立体にしてみよう。選択肢は八個、式は六十四個できるはずである。)

 

 ところで、上の升目の例はちょっと見方を変えると(45°回転させてみると)

 このような四方向に倒せるレバーの動きと同じと捉えることもできる。(動かすときは一旦垂直に起こしてから任意の方向へ倒す。)

 この場合は考えられる動かし方は「現在位置より一つ右(時計が進む方向)へ」、「左(時計が戻る方向)へ」、「反対側へ」、「そのまま」、とも表現できることになる。

 右+右=反
 右+左=不
 右+反=左
 右+不=右
 左+右=不
 左+左=反
 左+反=右
 左+不=左
 反+右=左
 反+左=右
 反+反=不
 反+不=反
 不+右=右
 不+左=左
 不+反=反
 不+不=不

   右左反不
   ↓↓↓↓
 右→反不左右
 左→不反右左
 反→
左右不反
 不→右左反不

 である。またここでは 

 右+右+右=左
 右+右+右+右=不

 などともなる。

 

 さて、上に図示した何れのケースでも位置の変化について次のことが言える。

●どんな変化が組み合わされてもその結果はある一つの変化の結果と同じになる。
●どんな変化もある一つの変化によって取り消す(もとへ戻す)ことができる。

 たとえばレバーの例で見ると

   右左反不
   ↓↓↓↓
 右→反不左右
 左→不反右左
 反→左右不反
 不→右左反不

 のように、表に示された結果は右・左・反・不の4つに限られている。
 またどの行にも必ず不が存在することが分かる。これはどんな変化も必ずある一つの変化によって取り消す(もとへ戻す)ことができることを意味している。

 つまり、何れのケースでも、どんな変化をどのようにいくつ積み重ねてもその結果がとんでもない想定外の結果を招いて収拾がつかなくなるという事態は起こり得ないのだ。これらの動作や操作の世界においては、いくつかの変化のし方を要素として、それらの要素が過不足なく全て適切に関係付けられているからである。これは整然たる自己完結体系といってよいだろう。
 

 要素の数(変化の種類)を無限に増やしてみよう。 

                                                                                                                                                                                                             

(図は左右に無限に続いている想定)

 いま、任意の位置から右へ一つ動く変化を「1」と名付けよう。
 右へ二つ動く変化を「2」と名付けよう。
 同じように3以上を定義する。
 左への変化は「−」を付けて呼ぼう。動かない変化は「0」である(前の例の「不」と同じ)。

 例えば「1」という要素に「2」という要素が加わると、「3」という要素と同じになる。「3」と「4」では「7」と同じになる。
 この体系には無数の要素が存在するが、どの要素についても必ずそれを取り消すことのできる別の要素が存在する。例えば「1」に「−1」が作用すると「0」と同じになってしまう。「365」であれば「−365」でもとに戻る。

 もうお気付きと思うが、これは普通の「整数の足し算・引き算」ではないか。
 整数の足し算・引き算の世界も整然たる自己完結体系なのだ。

 さて、「整然たる自己完結体系」の内容をもうすこしはっきりと規定してみよう。

1.どの要素とどの要素を組み合わせることも可能で、その結果自体も一個の要素として体系内に存在する。
2.変化を起こさないという要素も存在する。
3.全ての要素について、それを取り消す要素が存在する。
4.要素の組合せにおいてA+(B+C)=(A+B)+Cという結合法則が成立する。
(「+」は必ずしも「足す」という意味ではなく、一般的に演算を意味する。なお、ここで結合法則が出てくる意味についてはこの先で。)

 整数の足し算・引き算の世界はこれらの条件を満たしているので整然たる自己完結体系であるということができる。我々が行おうとする如何なる足し算・引き算もが必ず成功裏に成立すると我々が信ずることができるのは、この極めて整然とした体系の保証によるのである。(整数の範囲を越えた実数や複素数の足し算・引き算でも同じことである。)

 

足し算・引き算で結合法則が成り立つのは明らかだが、上記の

 
 

の世界ではどうだろう。指で動きをなぞって考えてみよう。
 (縦+横)+斜=縦+(横+斜)は成り立つだろうか。
 まず(縦+横)+斜は  だから不である。
 では縦+(横+斜)はどうだろう。(横+斜)は縦と同じことになるから、
 縦+(横+斜)=縦+縦、つまり  で、結果は同じ不になった。 成り立つ。

の世界も見よう
 (右+反)+左は  だから反だ。
 右+(反+左)はどうか。(反+左)が右になるから、
 右+(反+左)は右+右ということで  と、これも反になる。成り立つ。

 なるほどこういう風になっているのか。経路が違っても到達点は同じなのだ。面白い。
 結合法則が成り立つということは、同じ材料ならどう組み合わせてもよいという意味なのだ。料理なら材料や調味料の組み合わせ方で味が違ってくるところだが、こういう世界ではそこまでスッキリとしているのである。

 

 整数の掛け算の世界は整然たる自己完結体系だろうか。
 その世界の定義では、無に帰してしまう要素が「0」、変化させない要素が「1」、倍増させる要素が「2」、3倍増させる要素が「3」、・・・  ということになる。
 変化させない要素が「0」ではなく「1」であることに注意しよう。
 「2」を取り消す要素は「1/2」である。これは整数ではない。したがって整数の掛け算は整然たる自己完結体系ではない。
 そこで<整数/整数>の形の分数(有理数)まで含めて考えればどうだろう。そうすれば全ての要素についてそれを取り消す要素が存在するではないか。結合法則が成り立つのも明らかである。したがって有理数の掛け算の世界は整然たる自己完結体系である・・・
 という訳にはいかない。
 「0」が曲者であった。例えば「1」に「0」を掛けると「0」となる。それを「1」に戻す数は存在しない。この世界では「0」は悪魔の数字なのである。一旦「0」が介入すればもう如何にしても元の秩序に戻ることは不可能だ。

 では有理数から「0」を除いた世界の掛け算ならばどうだろう。そうだ、これでようやく整然たる自己完結体系となる。そこにはもう悪魔は存在しない。

 (以上のことから、整数は知っているが分数を知らない児童の理解する掛け算の世界は完全ではなく、また分数の掛け算さえ知っていれば「0」を掛けることができなくても一定の整然とした世界を把握しているのだと言ってよいようだ。)

 

 さて、ここまで言ってきた「整然たる自己完結体系」のことを数学では「群」というらしい。
 上に挙げた一つ一つの要素のことは「元(げん)」といい、変化させない要素のことを「単位元」、取り消す要素のことを「逆元」というのだそうだ。
 足し算・引き算や掛け算、また冒頭から書いてきた本棚への本の入れ方やレバーの動かし方という具体的動作の話においても、何が単位元で、どれがどれの逆元かということについてはもう十分にお分かりだろうと思う。

 結局、私は数学的概念の「群」は単なる数学上の無味な概念ではなく、われわれの住むこの世界の整然さの理由を説明する(ちょっとだけ面倒な)表現法なのであるということを長々と説明してきたことになるらしいのだが、どうだろう、そのように理解していただけただろうか。

 (この宇宙において我々が混乱もなく思考したり行動したりできるのは、果たしてこの宇宙がもともと整然とした振る舞いをするように出来ているからなのか、あるいは我々が混沌とした宇宙の振る舞いの中に仮想的に整然とした秩序をでっち上げているからなのかは、私にはわからない。)

 

 附録:  悪魔の方向


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