2016 年度「計算数学」 2017-01-27

§11.1 マージソート 【課題５】

(11.1.1) マージ (merge) ソートでは， ソートすべきデータがはいっている配列 a[ ] のほかに， それと同じ大きさの配列 b[ ] が必要となる。 そこが欠点であるが，アルゴリズムは比較的わかりやすい。

(11.1.2) 配列 a[ ] が次を満たしているとする。

• a[1] から a[4] までは小さい順 （i.e. a[1] ≦ a[2] ≦ a[3] ≦ a[4])，
• a[5] から a[8] までは小さい順 （i.e. a[5] ≦ a[6] ≦ a[7] ≦ a[8])，
• ……

これを（ここでは）「4 ずつ並んでいる」と呼ぼう。 （最後に半端が出たら，それらも小さい順に並んでいるとする。）

(11.1.3) このとき，この配列全体をもう一つの配列 b[ ] にコピーし， 次を満たしているようにする。

• b[1] から b[8] までは a[1] から a[8] までを小さい順に並べたもの，
• b[9] から b[16] までは a[9] から a[16] までを小さい順に並べたもの，
• ……

(11.1.4) 子どもたちが四人ずつ班に別れ， それぞれの班の中では背の順に並んでいるとき， 二班を一つにまとめ，八人が背の順に並ぶようにせよ，というのと同じである。

(11.1.5) それには，次のようにすればよい。 a[1] から a[8] までの部分で説明しよう。 まず a[1] と a[5] を比べ，小さいほうを b[1] にコピーする。 もしも a[1] のほうがコピーされたなら， 次には a[2] と a[5] を比較する。 いわば“勝ち抜き戦”である。 片方のグループの元をすべてコピーしてしまったら， あとはもう一つのグループの残りを（比較することなしに）順にコピーする。

(11.1.6) 配列 a[ ] 全体に対し上の操作を行なって配列 b[ ] にコピーし終えたら， それから，b[ ] 全体を a[ ] に， そっくりそのまま，順序を変えずにコピーする。

(11.1.7) これで，配列 a[ ] を， 「4 ずつ並んでいる」から 「8 ずつ並んでいる」に変えることができた。

(11.1.8) 最初に配列 a[ ] を乱数で初期化した直後には， この配列は「1 ずつ並んでいる」と言える。 それを上のような操作で「2 ずつ並んでいる」ように変え， 「4 ずつ並んでいる」ように変え， ……とくりかえしてゆけば，やがて配列全体がソートされる。 このアルゴリズムを「マージソート」という。

(11.1.9) m ずつ並んでいる m 個のもの二組を小さい順に並べて別の場所にコピーする際， 次にコピーすべき元（げん）を決めるには，たかだか一回の比較で済む。 最後の一つは，残ったものだから，比較しなくても決まる。 よって，比較回数はたかだか 2m-1 回である。 コピーされる元は 2m 個である。 これらは Ο(m) である。 よって， 「m ずつ並んでいる」から「2m ずつ並んでいる」に変えることは Ο(N) の計算量で可能である。 これを全部で約 log₂(N) 回くりかえすから， 全体では Ο(N log(N)) である。

(11.1.10) クイックソートとは異なり， 初めに配列がどのように初期化されていても，このオーダーである。 また，乱数で初期化する場合，平均すると， クイックソートよりも比較回数は少ないようである。

§11.2 課題５

(11.2.1) 課題１と同様のことを，マージソートについて行なえ。

(11.2.2) 挿入ソートのソースファイルをコピーしたものに， 下のプログラムをはりつけ，ヒントに従って埋めてゆく。 ファイル名は merge.c がよいだろう。

(11.2.3) プログラムの main() は次のようになる。

main() {
    int m, start, i, j, k;

    /* ここで，いつものように，配列の大きさの表示，配列 */
    /* の初期化，初期化直後の配列の画面表示を行なう     */

    for (m = 1; m ???; m = ???) {
        printf("「%d ずつ並んでいる」のを", m);
        printf("「%d ずつ並んでいる」ように変えます.\n", 2*m);
        for (start = 1; start ???; start = ???) {
            i = 0; j = 0; k = 0;
            for (    ; ????????????????????????????????;   ) {
                if (comp(start+i, start+m+j) < 0) {
                    b[???] = a[???];
                } else {
                    b[???] = a[???];
                }
            }
            for (    ; ??????????????????????;   ) {
                b[???] = a[???];
            }
            for (    ; ??????????????????????;   ) {
                b[???] = a[???];
            }
        }
        /* ここで，for ループを用いて，配列 b[ ] を a[ ] に */
        /* そっくりそのままコピーする */
        print();
    }
    /* ここで，いつものように比較回数の表示などを行なう */
}

変数は，上のように，五つ用意する。

• m は，「m ずつ並んでいる」のを「2m ずつ並んでいる」 に変える，その m である。 最も外の for ループではこの m が変わる。
• 二組を一組にまとめるわけだが，その中で最も添字が小さいものが a[start] だとする。 外から二番目のループでは，start を 1 から初めて，だんだん大きくしてゆく。
• 一番内側の三つの for ループで， a[start] から始まる 2m 個の元を小さい順に b[ ] にコピーする。
  • その一つめの for ループの本体では， 第一群の a[start+i] と第二群の a[start+m+j] とを比較し， 小さいほうを b[start+k] にコピーする。
    • この for の初期設定は， i, j, k に 0 を代入するものである。 まとめて for の小カッコ内に入れる方法もあるが， ここではそこは空白とし，for の一行前に書いた。
    • この for の継続条件は， i, j がしかるべき範囲にあり， かつ，添字 start+i, start+m+j, start+k が配列の終わりを越えていないことである。 （よって，いくつかの条件を && でつなぐことになる。 五つすべてが必要なわけではない。）
    • この for の再初期化は， 必要に応じて i, j, k を 1 だけ増すことである。 どれとどれを増やすかは，場合によって異なるので， for の小カッコの中に入れるのはむずかしい。 そこで，for の小カッコの中の三番めは空白にしておき， ループ本体内の適当なところに「i++;」などを置く。 （その場所は上のヒントでは示していない。自分で考えること。）
  • その二つめの for ループは， 第一群の残りを b[ ] にコピーするもの。 初めて使うテクニックかもしれないが，その前の for ループを抜けたあとの i, k の値をそのまま使う。 よって，この for の初期設定は空白である。 再初期化も空白とし，「i++;」などはループ本体の適当なところに置く。
  • その三つめの for ループは， 第二群の残りを b[ ] にコピーするもの。 ヒントは二つめと同じ。

(11.2.4) 「int a[N+1];」の次の行に「int b[N+1];」を入れるのを忘れずに。

(11.2.5) ※ 実は，b[ ] をそのまま a[ ] にコピーして戻すのは時間の無駄である。 その際，ついでに「2m ずつ並んでいる」のを 「4m ずつ並んでいる」ように変えれば， この無駄が省ける。 しかし，プログラムが長くなるか，まだ習っていない書き方が必要になる（と思う）。

(11.2.6) いままでのアルゴリズムとは異なり，要素の交換のくり返しではないから， 関数 swap() は使わない。よって，交換回数は調べない。 （関数 swap() などは使わないが，残しておいて構わない。）

(11.2.7) 件名は「?? kadai5」（「??」は自分のアカウント名の下二桁。 全て半角文字，アルファベットは小文字。 kadai と 5 の間にはスペースをいれない）とせよ。 これ以外の注意点は課題１と同じ。

(11.2.8) N の値を大きくしての実験は， N を 10000, 100000, 1000000 にして，五回ずつ行なえ。

§11.3 ソートの安定性

(11.3.1) この節は，課題が早く終わって時間が余った人のためのものである。 前に (5.3.3) で述べた， ソート前のデータに同じ値のものがあった場合の問題を考えよう。

(11.3.2) あるソートのアルゴリズムが「安定 (stable)」であるとは， 同じ値のものが，ソート後も元の順序を保っていることをいう。 あるソートアルゴリズムが安定であることをいうには， 数学の定理と同様に証明が必要であり， 不安定（あるいは非安定）であることをいうには反例をもって示すべきであるが， 実験で試し，その結果を参考にすることができる。

(11.3.3) この授業で書いているプログラムを少し改変することで， その実験が行なえる。以下では，そのやり方の一つを説明する。 プログラムのコピーを，次のように改変する。

• int a[N+1]; の次の行に int b[N+1]; を追加する。 （i.e. 同じ長さの配列をもう一つ用意する。）
• 配列を初期化する関数 init() は， a[i] はいままで通りに乱数で初期化するが， b[i] には i を代入して初期化する。
• 配列を画面に出力する関数 print() は， a[i] の値を一行に出力したのち， b[i] の値を次の行に出力する。 （ヒープソートの場合もこれを使う。）
• 互換を行なう関数 swap() は， swap(i, j) を実行するとき， a[i] と a[j] の値を入れ換えるだけでなく， b[i] と b[j] の値をも入れ換える。

(11.3.4) 以上のように改変してから実行する。 ソート後，a[i] の値が同じものが並んだら， それらの中で b[i] の値が小さい順かどうかを調べる。