連立一次方程式
を掃き出し法で解く。
以下で、最初の 3 行は、上の方程式の係数と定数項を書き抜いたもの。 そのあとは、右に書いた操作をしてゆく。 一度使った式も、そのまま残しておく。
| 1 | 3 | 4 | -7 | | ||
| 2 | 5 | -1 | 12 | 2 倍して引く | ||
| 5 | -2 | 1 | 5 | 5 倍して引く | ||
| 1 | 3 | 4 | -7 | |||
| 0 | -1 | -9 | 26 | × (-1) | ||
| 0 | -17 | -19 | 40 | |||
| 1 | 3 | 4 | -7 | | 3 倍して引く | |
| 0 | 1 | 9 | -26 | |||
| 0 | -17 | -19 | 40 | 17 倍して足す | ||
| 1 | 0 | -23 | 71 | |||
| 0 | 1 | 9 | -26 | |||
| 0 | 0 | 134 | -402 | ÷ 134 | ||
| 1 | 0 | -23 | 71 | | 23 倍して足す | |
| 0 | 1 | 9 | -26 | 9 倍して引く | ||
| 0 | 0 | 1 | -3 | |||
| 1 | 0 | 0 | 2 | |||
| 0 | 1 | 0 | 1 | |||
| 0 | 0 | 1 | -3 | |||
最後の 3 行を、連立方程式に戻せば
となり、x = 2, y = 1, z = -3 と解けたことになる。
上では、 「ある行を k 倍する（または k で割る）（ただし k ≠ 0）」、 「ある行を k 倍してほかの行に足す（または引く）」 の二つの操作だけを用いた。
次では、 「ある行とほかの行を交換する」 も用いる。 （クイズ：実はこの操作は上の二つの組み合わせで書ける。考えてみよ。）
| 0 | 1 | 1 | 4 |  | いれかえ | |
| 1 | 0 | 1 | 6 | |||
| 1 | 1 | 0 | 8 | |||
| 1 | 0 | 1 | 6 |  | ||
| 0 | 1 | 1 | 4 | |||
| 1 | 1 | 0 | 8 | 引く | ||
| 1 | 0 | 1 | 6 |  | ||
| 0 | 1 | 1 | 4 | |||
| 0 | 1 | -1 | 2 | 引く | ||
| 1 | 0 | 1 | 6 | |||
| 0 | 1 | 1 | 4 | |||
| 0 | 0 | -2 | -2 | -2 で割る | ||
| 1 | 0 | 1 | 6 | | 引く | |
| 0 | 1 | 1 | 4 | 引く | ||
| 0 | 0 | 1 | 1 | |||
| 1 | 0 | 0 | 5 | |||
| 0 | 1 | 0 | 3 | |||
| 0 | 0 | 1 | 1 | |||
次は、中学・高校の範囲では「解けない」とされるものである。 答えが一つに決まらないのである。
| 1 | 2 | -1 | 14 | |
| -2 | -3 | 0 | -23 | |
| 3 | 8 | -7 | 52 | |
解こうとすると次のようになり、その先はどうにもならない。
| 1 | 0 | 3 | 4 | |
| 0 | 1 | -2 | 5 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | |
実は、これで解けているのである。 連立方程式に戻してみよう。
第 3 式はないも同然である。 第 1 式、第 2 式で、z は両方に現れているのに対し、 x, y は片方にしか現れない。
そこで、z = c（定数）とおく。この数は好きに決める。 すると第 1 式は x + 3c = 4 となるから x = -3c + 4。 第 2 式は y - 2c = 5 となるから y = 2c + 5。 まとめると
この三つを、元の三本の方程式に代入してみよう。
と c は消える。 つまり、c の値がいくつであっても、元の連立方程式は成り立つ。
| 1 | 5 | 2 | 14 | |
| 1 | 5 | 1 | 11 | |
| 2 | 10 | 3 | 25 | |
これは次のようになる。
| 1 | 5 | 0 | 8 | |
| 0 | 0 | 1 | 3 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | |
第 2 式から z = 3 である。 y = c とおく。 すると x = -5c + 8 となる。 これで解けていることを確かめよ。