「碁清源 　碁石並べ替え遊び」                         菅野礼司

I.「碁石並び替え遊び」とは
  同数の白石と黒石を、下図のように左右にまとめて配置したＡ図を、Ｂ図のように
白黒交互に並べ変えるゲ−ムです。 たとえば、石数が６個づつの場合は
  ○○○○○○●●●●●●　（Ａ）→　●○●○●○●○●○●○  （Ｂ）

 「碁石並べ替えゲーム」のルール
（１）白石と黒石は同数であれば、３個づつ以上なら何個でもよい。
（２）石の移動：隣り合う２個の石を同時に移動させる。（例のＡ図では、○○、●●、　
　または中央の○●のように、２個づつ）
（４）移動回数：白石（または黒石）の数と同じ。 （例図では６回）
（５）最終図は、白黒が１個づつ交互に並べば、右端の石は白でも黒でもよい。

やり方の例 ：（石の移動方向は白と黒を逆にしてもよい。）
・３個の場合  （ �@：白、 �@：黒、　◇◇は移動跡 の空所）
 　�@�A�B�@�A�B →　�B�@�A�B�@�A→　�B�@�A◇◇�A�B�@ →　�A�B�@�A�B�@ 　（３回）
・４個の場合
　　 �@�A�B�C�@�A�B�C→�@◇◇�C�@�A�B�C�A�B→�@�@�A�C◇◇�B�C�A�B→ 　　　　　　　
　　�@�@�A�C�C�A�B◇◇�B→�A�C�C�A�B�@�@�B    （４回）

　このように、ルールにしたがって目的の図に到達できる（２個の場合はできない）。　５個以上になるとだんだん複雑になり、石数が大きくなると急速に難し くなる。しかし、法則があるはずである。それゆえ、並べ替え手順の一般法則（解法）を求めてみよう。

 何を求めれば解けたことになるか：
　�@石数と同数の移動回数で常に可能か、�A最終図までの手順、�B解法は何通りあるか
これが求まれば完全に解けたことになる。
　                                       
II. 解法の見つけ方　  
（１）予備考察：１個づつ移動させる場合
　石の移動手段を、同時に２個づつではなく、１個づつ移動させる場合を考える。これは２個づつ移動させる場合の、移動効果を分析するためである。
  １個づつ移動させる場合は、任意のＮ個について必ずＮ回の移動で 目的図に移れることは容易に分かる。しかも、説明は省略するが、手順は一通りとは限らな い。

（２）対石（隣り合う２個づつの石）の移動効果
　１個づつ移動させる場合は、一つの無駄もなく１回で目的位置に石を移動させることができる。ところが、隣り合う石を２個づつ対で移動させる場合は、１個 は目的位置に移動できても、連れの石は必ずしも目的位置でないことが起こる。目的位置への石を移動を「適正移動」と呼ぶことにする。そうでない移動は、後 に再び移動しなければならないので「無駄移動」と呼ぶ。
　同色対○○と●●の移動は、少なくとも１個は無駄移動となる。異色対 ○●と●○の移動では、２個とも適正移動となるか、２個とも無駄移動となるかのいずれかである。無駄移動はマイナス効果を及ぼすから、なるべく避けるよう にする。特に２個とも無駄移動はやってはならない。
対石（２個）移動の評価：石を移動したとき、目的達成への効果を数値で表そう。
　適正移動の効果は＋１、無駄移動の効果は−１と評価すべきである。すると、
　同色対の移動：１個適正、１個無駄移動ゆえ評価は１−１＝０，（０移動と呼ぶ）
  異色対の移動：２個とも適正移動の場合の評価は＋１＋１＝＋２、（＋２移動と呼ぶ）
                ２個とも無駄移動の評価は−１−１＝−２、（−２移動と呼ぶ）

　石数がＮのとき、１個づつ移動の場合は、その評価は全て適性移動（＋１）にできるから、移動評価の総計は石数と同じ丁度Ｎであった。他方、２個づつの対 で移動させる場合も、Ｎ回で完成すべきであるから、移動評価はＮ（奇数の場合はＮ＋１となる）となるはずである。そうならば、Ｎが偶数のとき、０移動は Ｎ／２回、＋２移動はＮ／２回となるべきである。Ｎが奇数のときは、０移動が（Ｎ−１）／２回、＋２移動が（Ｎ＋１）／２回であることが、 実例から経験則 として分かる（理由は後述）。つまり、Ｎが奇数の場合、０移動よりも＋２移動が１回多いので、評価の合計はＮ＋１となる。

（３）移動評価のパターン
　Ｎが少ない場合の解答例から０移動と＋２移動の手順を見ると、その分布は見事に、前半のＮ／２（奇数のときは（Ｎ−１）／２）が０移動、その後は全て＋ ２移動である。つまり、手順は（００・・００２２・・２２）となっている。（実例参照）
  それを見るには、完成図を下に並べて移動操作を遂行すればよい。（完成図は分かっているのだからこの方法は許される。）

 例えば、Ｎ＝５の場合：移動評価のパターンは（００２２２）
　�@�A�B�C�D�@�A�B�C�D 　（開始図）→　�@◇◇�C�D�@�A�B�C�D�A�B （０移動）→
　      ●○●○●○●○●○（完成図） 　　  　●○●○●○●○●○

　�@�B�C�C�D�@�A◇◇�D�A�B （０移動）→　�@�B�C�C◇◇�A�D�@�D�A�B （２移動）→　
　  　  ●○●○●○●○●○ 　　       　　　  ●○●○●○●○●○

　�@�B�C�C�D�A�A�D�@◇◇�B（２移動）→　　�C�C�D�A�A�D�@�@�B�B （２移動）    
         ●○●○●○●○●○         　　      ●○●○●○●○●○

最初の２回の移動で準備段階は終わりで、残る３回で仕上げとなっている。このように、
前半の０移動（同色対移動）は準備段階で、後半は＋２移動で仕上げという構図になっている。

（４）準備段階修了図の分析
　前半の準備は、Ｎが偶数のときはＮ／２回の０移動で終わり、その準備段階修了図を完成図と対比してみると、白黒が逆転している対（これを「逆転対」と呼 ぼう）がＮ／２個ある。それ以外の石は適正位置にある。それゆえ、すべての逆転対をＮ／２回の＋２移動で適正配置に持っていける可能性がある。
  Ｎが奇数のときは（Ｎ−１）／２回で準備が終わるが、その図と完成図とでは（Ｎ＋１）／２個の逆転対がある（０移動の回数より１個多い）。その理由は、Ｎ が奇数の場合は、開始図で、中央の白黒がすでに逆転対になっているからである（Ｎ＝５の例では�D�@）。それゆえ、逆転対は（Ｎ＋１）／２個となり、（Ｎ＋ １）／２回の＋２移動で適正配置に持っていける可能性がある。　　
　これで、すべてのＮについて、計Ｎ回の移動で完成できそうだということが分かった。

（５）逆転対の数
　このゲームでは、前半の準備段階修了図で、逆転対の数が奇数か偶数かが問題になる。それによって、０移動により逆転対を作る手順と仕上げの逆転対の移動 順が変わるからである。
　逆転対の数は、Ｎが４のサイクルで奇数と偶数が入れ替わる。 この事実は任意のＮに対する規則を求める上で、重要な意味を持つ。
　　Ｎ　　　　５，６；７，８ ； ９，１０ ；１１，１２；  ・・・
　逆転対の数　　３　；　４　；　　　５　；　　６     ；  ・・・
（逆転対を数えるとき、準備修了図では左端の２個の下には完成図の石がないが、延長補充して●○が存在するものとして数える。）
　ところで、逆転対には白黒の並ぶ順序により、○●対と●○対の２種類がある。Ｎ＝５の例では、�@�B、�D�@および�D�Aの対である。
　重要なことは、その逆転対の数が偶数のとき（Ｎ＝７，８； １１，１２；・・の場合）は、●○対と○●対が同数であり、（逆転対の数が奇数のときＮ＝５， ６；９，１０；・・の場合）は、●○対よりも○●対の方が１つ多いということである。（○●対が多い理由は、初動が白対であったことと、Ｎ が奇数のとき中 央にある逆転対は必ず○●対だから。）この構図になることが、後半の＋２移動で完成図に達しうる条件なのである。

（６）逆転対のでき方
  前半の０移動で、逆転対をどのような手順で作るかがこのゲームのポイントである。そこで２種の●○と○●逆転対がどのように現れるか、その規則を明らかに しておこう。
　まず、石を移動した跡にできる空所（上段）に対応する完成図（下段）が●○対の場合２通りのパターンがある：
   　　   ●　  　●  および  ○　    ○ 　　（異動対象部分図）
  　　    ○●○●    　　　　○●○● 　　（完成図の部分図）
この図で、上段の空いているところに、それぞれ両端の色と異なる白対と黒対を、他のところから持ってきて埋めると
           ●○○●  および　　 ○●●○ 　　　（異動対象）
           ○●○●     　　　  　○●○● 　　　（完成部分図）
となる。できる逆転対（下線部）は両方とも、空所の下の完成図にあった●○対と同じ●○逆転対である。ただし、逆転対の現れ方は、白対で埋めたときは一つ 左にずれ、黒対で埋めたときは一つ右にずれる。
   同様に、上段の空所に対応する完成図（下段）が○●対のときも、埋める物が白対でも黒対でも、常にそれと同じ○●逆転対ができる。
　これで、予備考察はほぼ終わった。残る問題は、準備段階において、上に述べた目的の数だけの逆転対を作り出す０移動の手順と、出来た逆転対を完成図に 持っていく＋２移動の手順を決めることである。

（７）前半０移動と後半＋２移動の手順
  ０移動で目的の数だけの反転異色対を作る順序は次のようにするのがよい。まず最初の０移動では●○逆転対ができ、次には○●逆転対というように、●○逆転 対と○●逆転対を交互に作る。ただし、逆転対が奇数の場合は、Ｎが偶数のとき、最後に続いて２つ○●逆転対を作るようにする（Ｎが奇数のときは最初から、 中央に○●逆転対があるので、交互に作ればよい）。
　実際の手順を実例を示しながら説明しよう。
（１）Ｎ＝６の場合：移動評価パターンは（０００２２２）、逆転対は３個だから２個の　○●対と１個の●○対を作る。
      �@�A�B�C�D�E�@�A�B�C�D�E      （異動対象図）
          ●○●○●○●○●○●○ 　　（完成図）
　第１回目は、その後の移動が可能になるように隙間を作る。そのために、白対を右端に移動せざるを得ない（黒対を左端に移動してもよい）。そこでまず、定 石通り�A�Bを右端に移動する。
　第１回目：　�@    �C�D�E�@�A�B�C�D�E�A�B     （異動対象図）
      　　　(●○)●○●○●○●○●○●○ 　　　（完成図）
(上図では完成図の左端に便宜的に括弧の中の２個を追加した。）この０移動でできた逆転対は下線をつけた�E�Aである。このように第１回目の０移動では必ず ●○逆転対ができる。第２回目は、その移動跡に黒対を移動させて○●逆転対を作るのだから、空所の下（完成図）は○●対になっていなければならない。そう なるために第１回目では�A�Bを選んだ。（�C�Dでもよさそうであるが、そうすると左端に白が３個並び、その右に黒対が移動してくるから、その後が巧くいかな い）。第２回目の黒対移動により○●逆転対ができるが、続いて○●逆転対を作らねばならない（○●逆転対が１個多いから）。それゆえ、第２回目移動の跡の 空所は、下段（完成図）が○●対でなければならない。そこで�A�B対を左の空所に移動する（�C�D対では、すでにある逆転対の隣りで巧く行かない）。
  第２回目：  　�@�A�B�C�D�E�@　　�C�D�E�A�B     （異動対象図）
      　　　　(●○)●○●○●○●○●○●○ 　　　（完成図）
できた逆転対は�@�Aである。次の第３回目は白対�C�Dを空所に移動する。 
 第３回目： 　�@�A�B　　�E�@�C�D�C�D�E�A�B     （準備修了図）
      　　　　(●○)●○●○●○●○●○●○ 　（完成図）
これで０移動は終わり、準備段階は修了である。できた逆転対は�@�A、�D�C、�E�Aである。　○●逆転対が１個多いので、仕上げの＋２移動では○●逆転対から 移動を始めねる。そのために、準備修了図では空所の下段は○●対でなければならない。第３回目の移動では、移動跡の下段が○●対になるように�C�Dを選んだ （�D�Eでは駄目）。
　後半の仕上げは、それら３個の逆転対を○●対から移動して、空所を交互に埋めていけばよい。
ただし、左端の�@�A逆転対を早く移動させて空所を埋めてしま うと空所がなくなり、その後の移動ができなくなるから、左端の移動は必ず最後にしなければならない。
それゆえ、まず、�D�C対を左の空所に、次に�E�A対をその跡に、最後に、�@�A対を移動させて完成である。
　この移動は、○●対と●○対をあたかも一つの大石とみなせば、（適正位置にある石を無視すると）最初の予備考察で述べた１個づつの石の移動に対応してい る。１個づつの移動なら、白黒合わせてＮ個の石を、Ｎ回の移動で必ず目的位置に持っていける。それゆえ、準備修了図から、必ず完成図に持っていけるわけで ある。

（２）Ｎ＝７の場合：移動評価パターンは（０００２２２２）、逆転対は４個だから２個づつの●○対と○●対を作るべきである。
　　　�@�A�B�C�D�E�F�@�A�B�C�D�E�F    　  （異動対象図）
          ●○●○●○●○●○●○●○ 　　（完成図）
Ｎが奇数だから、開始図にすでに○●逆転対（下線）が中央にある。
第１回目は、定石通り白対�A�Bを右端に移動す。
　第１回目：�@　　�C�D�E�F�@�A�B�C�D�E�F�A�B 　 （異動対象図）
    　　  (●○)●○●○●○●○●○●○●○　　（完成図：）
新たにできた逆転対は下線をつけた�F�Aである。このように第１回目の０移動では必ず●○逆転対ができる。第２回めは、その移動跡に黒対を移動させて○●逆 転対を作るのだから、第１回目移動でできる空所の下段は○●対になっていなければならない。そうなるために�A�Bを選んだ（�C�Dでもよさそうであるが、そう すると白が３個並び、その右に黒対が移動してくるから、その後が巧くいかない）。それゆえ、第２回目の黒対移動でできるのは当然○●逆転対であるが、次に ●○逆転対を作るためには、その跡の下段は●○対でなければならない。その候補は�A�Bか�C�D対であるが、逆転対が隣接するのはまずいので、�F�@逆転対の隣 でなく、�C�D対を移動し空所を埋めると
　第２回目：　�@�C�D�C�D�E�F�@�A�B　 　�E�F�A�B   （異動対象図）
    　　　　(●○)●○●○●○●○●○●○●○  　（完成図）
　第３目の０移動で準備段階は修了するのだが、最後の０移動は特別な考慮が必要である。順番から行くと、次は下段が○●対になるように�C�D対を移動するこ とになるが、そうではない。その理由はこうである。後半の＋２移動では、左端の�@�C逆転対の移動は必ず最後にしなければならない。逆転対の数が偶数個の場 合は●○と○●逆転対が同数だから、＋２移動は●○逆転対から始めて、●○と○●逆転対を交互に移動させるのである。そのためには、最後の 第３回目０移動 は、下段が●○対になるように�D�E対を右の空所に移動させねばならない。そうしてできた、準備修了図は次のようになる。
    　　　　�@�C�D�C 　　�F�@�A�B�D�E�E�F�A�B
    　　　(●○)●○●○●○●○●○●○●○  　
これで２個づつの○●と●○逆転対（下線部）ができた。（ほとんどの場合、○●対はすべて左側に、●○対はすべて右側に現れている。）
　仕上げはそれら４個の逆転対を●○対から移動して、空所を交互に埋めていけばよい。たとえば、�B�D、�F�@、�F�A、�@�C  のように。ただし�B�Dと�F�Aの順序は入れ替えてもよい。この移動は、○●対と●○対を一つの石のようにみなせば、１個づつの移動に対応しているので、準備 修了図から必ず完成図に持っていける。
　　  　　　　　　　�D�C�B�D�F�A�A�F�@�E�E�@�C�B    （完了図）
     　　　　　 　　●○●○●○●○●○●○●○  　（完成図）

III. 手順の一般法則
　これで、Ｎ回の移動で完成できることと、その手順がわかった。最後に、この処方が任意のＮに対して常に成り立つことを示し、一般法則を求めよう。
　これまでの考察から、このゲームのパターンは次の４形に分類できる。その分類を決める特性は次の２つである。
　１．Ｎの奇数・偶数：移動評価（０移動と＋２移動）のパターンが変わる。
　２．逆転対の奇数・偶数：Ｎが２増すごとに変わる。
したがって、Ｎが４増すごとに同じパターンになるから、Ｎの値により次のように分類される。
    Ｎ＝４ｍ、　Ｎ＝４ｍ＋１、　Ｎ＝４ｍ＋２、　Ｎ＝４ｍ＋３
ｍは１，２，３，・・の整数でである。（この分類では、Ｎ＝３が除かれるが、事実、最初の実例図で見たように、この場合だけ完成図が４つ右に移動する例外 パターンである。）
　ｍが１増すごとにこれら４種は、それぞれの系列で同じパターンを繰り返すのである。それゆえ、ｍ＝１の基本形ができれば、それ以上のＮについてはほぼ自 動的に手順が分かる。
　４の周期で同じパターンを繰り返すことを、正木さんは実践で経験的に発見したそうである。その素晴らしい感性と洞察力には感嘆するばかりである。

　それを実際に示そう。基本形では、最初の０移動はすべて�A�B対を右端に持っていくことから始めるので、移動する石（対）を、移動順序に従って示すだけに する。前半の０移動で準備段階ができれば、後半の＋２移動は●○と○●逆転対を交互に（ただし左端の○●対は最後）、移動跡に順次機械的に埋めていくだけ であるから、規則は簡単である。それゆえ、前半０移動の手順の規則性が分かれば解法が得られたといる。そこで、０移動の規則を見ることにする。
・Ｎ＝４ｍの場合：移動評価値（２ｍ個の０、２ｍ個の２）、逆転対数＝２ｍ偶数
　Ｎ＝４（ｍ＝１基本形）：０移動 �A�B、�@�A；＋２移動　�C�A、�@�@
  Ｎ＝８（ｍ＝２）： �A�B、�B�C、�E�F、�D�E；　�A�E、 �D�D、�G�A、�@�B
  Ｎ＝１２（ｍ＝３）：�A�B、�B�C、�E�F、�F�G、�I�J、�H�I；
                     �A�E、�D�F、�E�I、 �H�H、�K�A、�@�B

  ０移動と＋２移動の数は同数で、ｍが１増すごとに２個づつ増える。そして、０移動の規則は、白対の系列と黒対の系列がともに、番号が４ずつ増すということ である。ただし、最後の黒対はその規則からずれている。その理由は、後半の＋２移動では●○逆転対から始めねばならないので（最後の移動は左端の○●逆転 対であるから）、最後の０移動でできる空所の下段（完成図）を●○対にする（順番からすると○●対である）という制約があるために規則からずれるのであ る。しかし、その最後の黒対にも、ｍが１増すごとにその番号が４づつ増すという規則がある。  後半の＋２移動にも規則性は少しあるが、単純ではない。
・Ｎ＝４ｍ＋１の場合：移動評価値（２ｍ−１個の０、２ｍ＋１個の２）、　　　　　　　　
　　　　　　　　逆転対数＝２ｍ＋１奇数
　Ｎ＝５（基本形）：�A�B、�B�C；  �D�@、�D�A、 �@�B
  Ｎ＝９：　�A�B、�C�D、�E�F、�F�G；　�D�E、�B�E、�H�@、�H�A、�@�C
  Ｎ＝１３：�A�B、�C�D、�E�F、�G�H、�I�J、�J�K；
　　　　　　�D�G、�B�E、�H�J、�F�I、�L�@、�L�A、�@�C

　この場合は逆転対が奇数個で、○●逆転対が１つ多いから、＋２移動は○●逆転対から始めねばならない。それゆえ、最後の０移動でできる空所の下段（完成 図）を○●対にする（順番からすつと●○対）という制約があるために、最後は規則からずれる。
   ここでも白対系列と黒対系列には、番号が４づつ増えるという規則が見られる。最後の黒対はその規則からずれるが、それもｍが１増すと４づつ増えている。
  残る２つの場合にも、以下に示すように、同じような規則が見られる。
・Ｎ＝４ｍ＋２の場合：  移動評価値（２ｍ＋１個の０，２ｍ＋１個の２）
                        逆転対数＝２ｍ＋１奇数
　Ｎ＝６（基本形）：�A�B、�A�B、�C�D；  �D�C、�E�A、 �@�A
  Ｎ＝１０：　�A�B、�B�C、�E�F、�E�F、�G�H；�D�E、�A�E、 �H�G、�I�A、�@�B
　Ｎ＝１４：　�A�B、�B�C、�E�F、�F�G、�I�J、�I�J、�K�L；　
              �D�F、�A�E、�H�I、�E�I、 �L�K、�M�A、�@�B

・Ｎ＝４ｍ＋３の場合： 移動評価値（２ｍ＋１個の０，２ｍ＋２個の２）
                        逆転対数＝２ｍ＋２偶数
  Ｎ＝７（基本形）：�A�B、�C�D、�D�E；　�B�D、�F�@、�F�A、�@�C
  Ｎ＝１１：�A�B、�C�D、�E�F、�G�H、�H�I；  �B�E、�D�G、�F�H、�J�@、�J�A、�@�C
  Ｎ＝１５：�A�B、�C�D、�E�F、�G�H、�I�J、�K�L、�L�M；
            �B�E、�D�G、�F�I、 �H�K、�J�L、�N�@、   �N�A、�@�C

　これで、すべてのＮについて、Ｎ回の対移動で、白黒を交互に並べ替え得ることが証明できた。そして、その手順に関する一般法則が求まった。残る問題は、 「その手順は何通りあるか」である。

IV.並べ替えの手順は何通りあるか
　上に示した並べ替え手順は、標準形式であり、いわば定石のような物である。この標準形式をベースにして、何通りの手順があるかを見るのは比較的簡単であ る。Ｎが６以下では手順は１通りしかないが、７以上になると、白対と黒対の０移動が多くなり、白対同士、または黒対同士の移動順序を入れ換えることができ る。たとえば、Ｎ＝８と９の場合は、�A�Bと�E�Fの順序を入れ換えてもよい。だから最初は�A�Bの移動とは限らない。Ｎが大きくなると、この種の入れ替えは急 速に増大する。
　同様に、後半の＋２移動についても、○●逆転対と●○逆転対の数が増えると、同種の逆転対の手順入れ替えが許される。たとえば、Ｎ＝７の場合、�B�Dと �F�Aの順序は入れ替え可能である。Ｎ＝８の場合も、�A�Eと�G�Aは入れ替えてよい。
　Ｎが大きくなると、同種の逆転対も増えるので、入れ替え可能な手順は急速に増えるが、その場合の数は、順列・組合せの問題であるから、丹念に計算すれば 分かることである。
　上記の定石「標準形式」以外にも、０移動と＋２移動が別種のパターンで完成図に到達できるのもある。たとえば、
　Ｎ＝９の場合：�A�B、�E�F、�E�F、�B�C；�D�B、�D�E、�H�@、�H�A、�@�E
というのもある。
　このような定石はずれについては、どのようなパターンが存在し、幾通りあるか、その場合の数を一般的に求めることは非常に難しい。これが残された問題で ある。
　
終わりに
　ここまで分析してきて、かなり分かったような気になった。最後に残された定石はずれの問題の完全解答は難しいが、これ以上解明することを止めた。完全に 解明されてしまっては、ゲームとしての面白さが消えてしまうからこのまま問題を残しておく方が、まだゲームに挑戦する夢があってよいだろう（負け惜しみだ といわれそうだが）。
　もし挑戦してみようという方がいたらやってみて下さい。
　それにつけても思うことは、囲碁の深さである。囲碁の論理を完成し、必勝法を発見することは人間には不可能であろう。だから、囲碁には、理論追求の夢と ロマンが永遠に続くであろう。

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                                                                                2006.6.29 受付  編集  事務局（小俣）