３次元多様体の Witten 不変量の２次元共形場理論からのアプローチについて

徳田裕也

目次

第 1 章序文 2

第 2 章共形場理論に関する基礎事項 5 2.1 リーマン面とマーキング . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 アフィンリー環の表現とＫＺ方程式 . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3 接続行列と組みひも行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

第 3 章写像類群の表現と Heegaard 分解を用いた３次元多様体の位相

不変量の構成 13 3.1 写像類群の線形射影表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Heegaard 分解と位相不変量 ϕ_{K}(M) の定義 . . . . . . . . . . . 21 3.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

第 4 章位相的場の理論と共形場理論 35 4.1 Witten 不変量の経路積分による表示 . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2 Atiyah の意味の位相的場の理論と共形場理論 . . . . . . . . . 36

第 5 章レンズ空間、 Seifert 多様体の Witten 不変量の計算 42 5.1 Seifert 多様体の Witten 不変量 . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.2 レンズ空間 L(p, ±1), L(p, ±2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.3 Poincaré homology 3-sphere Σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

第 6 章 Appendix A:摂動理論による Witten 不変量へのアプローチ 49 6.1 経路積分の考察と漸近展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.2 K → ∞ における漸近展開の主要項 . . . . . . . . . . . . . . . 55

第 7 章 Appendix B:On a conformal invariant of three-dimensional manifolds 60

第1章序文

本論文では [19] に従って、 Chern-Simons ゲージ理論による３次元多様体の Witten 不変量と２次元共形場理論の関連を捉え、数学的に２次元の場の量子論と３次元トポロジーの関係の定式化について述べ、さらに、いくつかの３次元多様体に対して Witten 不変量を求める式を具体的に書き下した。

１９８０年代後半に Witten によって Chern-Simons 理論の立場から、３次元多様体の位相不変量が提唱された。 M を向きのついた３次元多様体、 G をリー群 SU(2) として、 P を M 上の主 SU(2) バンドルとする。 P の接続全体の空間を A_{M} と表す。 A_{M} はアフィン空間となるが、自明な接続を基点にとって G のリー環 𝔤 に値をとる M 上の１次微分形式の空間 Ω^{1}(M, 𝔤) と同一視する。 P のゲージ群 G = Map(M, G) は、接続の空間 A_{M} に対して引き戻しによって右から作用する。 P の接続 A ∈ A_{M} に対して

CS(A) = \frac{1}{8π^{2}} ∫_{M} T r(A ∧ dA + \frac{2}{3}A ∧ A ∧ A)

とおき、 CS を Chern-Simons 汎関数という。 Witten による３次元多様体の位相不変量は経路積分を用いて、形式的に

Z_{K}(M) = ∫_{A_{M} /G} exp(2π\sqrt{−1} · K · CS(A)) · DA

と表される（K はレベルと呼ばれる 0 以上の整数）。

つまり、 Witten は３次元多様体の上の接続のなす無限次元多様体の上で Chern-Simons 汎関数を経路積分して、３次元多様体の位相不変量を「物理的に」定義した。しかし、経路積分は今のところ数学的に厳密に存在が証明されていないので、数学的な定義とは言えない。

そこで、これを数学的に捉える。本論文では共形場理論を経由することで数学的なアプローチを行うことを主とする。そして、摂動理論からのアプローチを最後に付録としてまとめた。

境界のある３次元多様体 M について ∂M = Σ とし、 Σ 上の SU(2) 接続 α をとる。 A_{M} の要素で Σ に制限すると α に一致するようなもの全体にわたって、上の経路積分を形式的に行う。 Chern-Simons 汎関数へのゲージ群の作用を用いて計算すると、これは Σ 上の平坦 SU(2) ベクトル束のモジュライ空間上の複素直線束の切断の空間と捉えられることが分かる。

さらに正則切断の空間に制限すると、共形ブロックの空間と呼ばれる複素ベクトル空間が得られる。ここで共形ブロックの空間は有限次元の線形空間になる。

M をリーマン面を境界とする２つの多様体に分解することにより、 Z_{K}(M) は、接着写像の共形ブロックの空間への作用により記述することができる。この際に用いられるのが写像類群の表現である。この接着写像により、どのように経路積分の値が変化するかを形式的に導くと、この変化は数学的に厳密な意味を持つ。このように共形場理論を経由することで、 Chern-Simons 汎関数の経路積分によって得られる不変量を厳密に理解することができる。 T.Kohno[19] は、この方法により３次元多様体の位相不変量 ϕ_{K}(M) を構成した。さらに、 [30] では ϕ_{3}(L(7, 1)) ≠ ϕ_{3}(L(7, 2)) が成立することが示されている。つまり ϕ_{3} はホモトピー不変量ではないことが分かる。また、 [6] には Poincaré homology 3-sphereΣ の貼りあわせ写像の記述があり、これを基にして ϕ_{3}(Σ) ≠ ϕ_{3}(S^{3}) となると T.Kohno は [19] の中で述べている。

実は ϕ_{K}(M) は３次元多様体の Witten 不変量の別の解釈と捉えることもできる。その際に強力な道具となるのが位相的場の理論である。 [12]pp407,[21]pp90 より

Z_{K}(M) =\sqrt{\frac{2}{K + 2}} sin(\frac{π}{K + 2})ϕ_{K}(M)

が成立することが知られている。

３次元多様体の Witten 不変量の中でも、レンズ空間、 Poincaré homology 3-sphere の Witten 不変量については、いろいろな考察がなされている。レンズ空間の Witten 不変量の絶対値については [39] に記述がある。本論文では、位相的場の理論の枠組みから与えられる連結和公式 (connected sum formula) ([38]pp374-396 参照) を用いて、 L(p, ±1), L(p, ±2) に対しては、

Z_{K}(L(p, ±1)) = \frac{2}{K + 2} ∑_{α=1}^{K+1} sin^{2}(\frac{απ}{K + 2})e^{2πi( \frac{α^{2}−1}{4(K+2)} )(∓p)} (mod Γ_{K})

Z_{K}(L(p, ±2)) = (\frac{2}{K + 2})^{\frac{3}{2}} ∑_{β=1}^{K+1} ∑_{α=1}^{K+1} sin(\frac{απ}{K + 2}) sin(\frac{βπ}{K + 2}) sin(\frac{αβπ}{K + 2})

×e^{∓(p+1)πi·h_{α}}e^{∓4πi·h_{β}} (mod Γ_{K})

という表示が得られた。ここで、 K は 0 以上の整数、 h_{α} = \frac{α^{2}−1}{4(K+2)}、 Γ_{K} は exp(2π\sqrt{−1} · \frac{c}{24}) で生成される部分群（c = \frac{3K}{K+2}）とする。また、 Poincaré homology 3-sphereΣ の Witten 不変量を連結和公式より具体的に計算することで Z_{3}(Σ) ≠ Z_{3}(S^{3}) が成立することを確かめた。これより、 ϕ_{K} についても ϕ_{3}(Σ) ≠ ϕ_{3}(S^{3}) が成立することが分かる。

本論文の構成は以下の通りである。

第２章では、第３章で必要とされる共形場理論に関する基礎事項をまとめた。第３章では [19] に基づき、位相不変量 ϕ_{K}(M) の定義について述べた。第４章では、第３章で構成した３次元多様体の位相不変量 ϕ_{K} と３次元多

様体の Witten 不変量、さらに Atiyah の意味の位相的場の理論の三つの関連をまとめた。位相的場の理論の枠組みは Witten により３次元多様体の位相不変量とともに提唱されたもので、２次元のコンパクトで向きづけ可能な多様体に対して有限次元の複素線形空間が対応し、それを境界とする３次元のコンパクトで向きづけ可能な多様体に対して、その複素線形空間のベクトルがひとつ対応する、という枠組みである。この章では Atiyah が提唱した位相的場の理論の枠組みに触れるが、 Witten 不変量はその例になる。ただし、この枠組みは当然 Witten 不変量に限るわけではないことに注意しておく。

第５章では実際に写像類群の表現から Seifert 多様体の Witten 不変量を求める式を復習し、レンズ空間 L(p, ±1), L(p, ±2)、 Poincaré homology 3-sphere Σ の Witten 不変量を求めた。

第６章は付録である。第６章では、３次元多様体の Witten 不変量を Chern-Simons 摂動理論の観点から捉えた。有限次元のアナロジーで、積分

Z_{K} = ∫_{R_{n}} e^{iKf(x_{1},···,x_{n})}dx_{1} ⋯ dx_{n}

の K → ∞ における漸近挙動を考えると、適当な仮定のもとでこれは関数 f(x_{1}, ⋯, x_{n}) の臨界点からの寄与の和に分けられ、それぞれの主要項は臨界点のヘッシアンを用いて表される。これを経路積分において考察する。つまり、 Witten 不変量を K に関する多項式と思い、 Chern-Simons 汎関数の臨界点である平坦接続からの寄与を考え、 Chern-Simons 汎関数を用いることなく定義する。ここでは、パラメータ K を無限大にとばしたときの漸近挙動を平坦接続にともなう不変量（η-不変量、 Ray-Singer トージョン、スペクトルフロー）によって記述した。

指導教官の榎一郎先生には２年間の院生生活を通じ大変お世話になり、また、ご迷惑をおかけしました。この論文の基となる研究テーマを与えていただき、さらに研究方法についても細部にわたってご指導・ご助言をいただきました。ここに感謝の意を申し上げます。また、多岐にわたり力になってくださった周囲の皆様にお礼申し上げます。

第2章{共形場理論に関する基礎 \atop 事項}

ここでは後の第３章で必要となる共形場理論に関する予備知識をまとめる。

2.1 リーマン面とマーキング

以下では Σ_{g} を向きづけ可能なジ─ナスが g の閉リーマン面とする。次の定理はリーマン面のパンツ分解としてよく知られている。

定理 2.1.1 Σ_{g} は (3g −3) 個の互いに交わらない、可縮でない滑らかな円によって (2g −2) 個のパンツ (3-holed sphere) に分解できる。（当然、 (3g − 3) 個の円は互いに微分同相でないものとする。） □

定義 2.1.2 定理 2.1.1 の中の (3g−3) 個の円のイソトピー類を Σ_{g} のマーキング (marking) という。

μ を Σ_{g} のマーキングの１つとする。マーキング μ の円に対し辺、マーキング μ による分解でできたパンツに対し頂点を対応させてグラフを構成することができる。このグラフを γ(μ) で表す。 γ(μ) は一つの頂点から三つの辺が分岐する (trivalent) グラフである。（Fig.1 参照）

逆にグラフからリーマン面のマーキングを構成することができることも容易に分かる。つまり、リーマン面のマーキングの微分同相類を与える方法と、一つの頂点から三分岐するグラフを与える方法は一対一に対応している。

K を正の整数として１つ固定する。これをレベルという。さらに

P_{K} := \{0, \frac{1}{2}, 1, ⋯, \frac{K}{2} \}

とする。

定義 2.1.3 関数 f : edge(γ(μ)) ⟶ P_{K} に対し以下の三条件を考える。（条件） c_{1}, c_{2}, c_{3} を１つの頂点から分岐する任意の３つの辺とするとき

(1) |f(c_{1}) − f(c_{2})| ≤ f(c_{3}) ≤ f(c_{1}) + f(c_{2})

(2) f(c_{1}) + f(c_{2}) + f(c_{3}) ∈ Z

(3) f(c_{1}) + f(c_{2}) + f(c_{3}) ≤ K このとき、 (1),(2) の二条件を Clebsch-Gordan 条件（CG 条件）といい、 (1),(2),(3) を満たすような関数 f を γ(μ) の受容ウエイト (admissible weight) という。

Z_{K}(γ(μ)) を γ(μ) の受容ウエイトの数だけ基底を持つ複素ベクトル空間とする。受容ウエイト f に対応する Z_{K}(γ(μ)) の基底を e_{γ(μ),f} で表す。

Remark 以上の議論は穴を持つリーマン面に対しても拡張できる。 Σ_{g,n} を向きづけ可能なジーナスが g、穴の数が n の閉リーマン面とする。このとき以下の定理より、マーキング、グラフ、受容ウエイトが Σ_{g} のときと同様に構成できる（Fig.2 参照）。

定理 2.1.4 Σ_{g,n} は (3g − 3 + n) 個の互いに交わらない、可縮でない滑らかな円によって (2g − 2 + n) 個のパンツに分解できる。 □

2.2 アフィンリー環の表現とＫＺ方程式

一般に複素リー環 𝔤 の線形表現とは、 𝔤 から複素線形空間 V の線形変換全体 End(V) への線形写像 ρ : 𝔤 ⟶ End(V) で

ρ([X, Y]) = ρ(X)ρ(Y) − ρ(Y)ρ(X) (X, Y ∈ 𝔤)

をみたすものである。

以下では特に断りのない限り 𝔤 = 𝔰𝔩(2, C) とする。まず 𝔤 = 𝔰𝔩(2, C) の表現論を簡単に復習する（詳しくは [17]chap.1 参照）。複素線形空間としては 𝔰𝔩(2, C) は３次元で

H = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ] , E = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] , F = [ \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ]

がその基底をなす。 X, Y ∈ 𝔤 に対して＜ X,Y ＞=Tr(XY) とおくと 𝔤 の非退化な対称双線形形式が定まる。これを 𝔤 の Cartan-Killing 形式という。 Cartan-Killing 形式に関する正規直交基底を {I_{μ}} とする。例えば

I_{1} =\frac{1}{\sqrt{2}} [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ] , I_{2} =\frac{1}{\sqrt{2}} [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] , I_{3} =\frac{1}{\sqrt{2}} [ \begin{matrix}0 & i \\ −i & 0 \end{matrix} ]

である。 j ∈ P_{K} に対し、 (2j + 1) 次元複素ベクトル空間を V_{j} で表す。さらに、

ρ_{j} : 𝔤 ⟶ End(V_{j})

を 𝔤 の既約表現とする。 𝔤 の既約表現については以下の定理が存在する。

定理 2.2.1 （ [32]1.1 ,[33] 定理 1.1 参照）任意の自然数 n に対し、 𝔤 の n 次元既約表現が同型を除いて唯一つ存在する。 □

Conf_{n}(C) := {(z_{1}, ⋯, z_{n})|∀z_{i} ∈ C, z_{i} ≠ z_{j} if i ≠ j} とし、関数

Φ : Conf_{n}(C) ⟶ V_{j_{1}} ⊗ ⋯ ⊗ V_{j_{n}}

に対し、行列 Ω_{lm} を

Ω_{lm} · Φ(z_{1}, ⋯, z_{n}) = ∑_{μ} ρ_{l}(I_{μ})ρ_{m}(I_{μ}) · Φ(z_{1}, ⋯, z_{n})

で定義する。ここで ρ_{l}(I_{μ}), ρ_{m}(I_{μ}) はそれぞれ End(V_{j_{l}}), End(V_{j_{m}}) の元である。よって Ω_{lm} ∈ End(V_{j_{1}} ⊗ ⋯ ⊗ V_{j_{n}}) (1 ≤ l, m ≤ n) と思える。

定義 2.2.2

\frac{∂Φ}{∂z_{i}} = \frac{1}{K + 2} ∑_{j≠i} \frac{Ω_{ij}}{z_{i} − z_{j}} Φ

\frac{∂Φ}{∂z̄_{i}} = 0 (1 ≤ i ≤ n)

を KZ 方程式という。

定義 2.2.2 より、 KZ 方程式について以下のことが直ちに分かる。

命題 2.2.3 KZ 方程式を満たす関数 Φ は、変数 t_{ij} := z_{i} − z_{j} (1 ≤ i < j ≤ n) に依存する関数である。

証明 Ω_{ij} の定義より Ω_{ij} = Ω_{ji} であるから

(\frac{∂}{∂z_{1}} + ⋯ + \frac{∂}{∂z_{n}})Φ = \frac{1}{K + 2} ∑_{1≤i<j≤n}(\frac{Ω_{ij}}{z_{i} − z_{j}} + \frac{Ω_{ji}}{z_{j} − z_{i}})Φ = 0

となる。これより、 Φ は t_{ij} := z_{i} − z_{j} に依存する関数と分かる。 ■

KZ 方程式の解の表示については積分表示などが存在するが（詳しくは [32]§7、 [33] 第６章、 [34]pp119-136 参照）、ここでは最も簡単なケースの時に KZ 方程式を解くことにする。

レベル K = 0, n=2 とする。関数 Φ : Conf_{2}(C) ⟶ V_{0} ⊗ V_{0} は一価関数とは限らないが多価関数のときは初等リーマン面を考えることとする。このとき ρ_{0} : 𝔤 ⟶ End(V_{0}) に対し

Ω_{12}Φ(z_{1}, z_{2}) = ∑_{μ} ρ_{0}(I_{μ})ρ_{0}(I_{μ})Φ(z_{1}, z_{2})

となるが、 dimV_{0} = 1 より ρ_{0} = 1 となる。すなわち ρ_{0} は自明な表現となる。定理 2.2.1 より考える表現はこれだけで十分。このとき Ω_{12}Φ(z_{1}, z_{2}) = Φ(z_{1}, z_{2}) より Ω_{12} = Ω_{21} に注意して、

\frac{∂Φ}{∂z_{1}} = \frac{1}{2} \frac{1}{z_{1} − z_{2}} Φ

\frac{∂Φ}{∂z_{2}} = −\frac{1}{2} \frac{1}{z_{1} − z_{2}} Φ

\frac{∂Φ}{∂z̄_{i}} = 0 (i = 1, 2)

となる。 V_{0} ⊗ V_{0} ≅ C と考えると

Φ(z_{1}, z_{2}) = (z_{1} − z_{2})^{\frac{1}{2}}

となる。一般に n 次元のときは、レベル K = 0 の場合に KZ 方程式を解くと

Φ(z_{1}, ⋯, z_{n}) = ∏_{1≤i<j≤n}(z_{i} − z_{j})^{\frac{1}{2}}

となる。

2.3 接続行列と組みひも行列

ここでは 2.2 節で定義した KZ 方程式を基に接続行列 (fusing matrix) と組みひも行列 (braiding matrix) を導入する。まず共形ブロックの空間 (conformal block space) に関して必要になることを簡単に復習する。（詳しくは [21] 第１章参照）

Hom_{𝔤}(⊗_{i=1}^{n}V_{j_{i}}, C) := {Ψ : V_{j_{1}} ×⋯×V_{j_{n}} ⟶ C|Ψは双線形写像で 𝔤−不変 }

を共形ブロックの空間という。ここで Ψ が 𝔤-不変とは

∑_{m=1}^{n} Ψ(ξ_{1}, ⋯, ρ_{j_{m}}(X)ξ_{m}, ⋯, ξ_{n}) = 0

が任意の X ∈ 𝔤、任意の (ξ_{1}, ⋯, ξ_{n}) ∈ V_{j_{1}} × ⋯ × V_{j_{n}} に対して成立することである。

n=3 として、 Hom_{𝔤}(V_{j_{1}} ⊗ V_{j_{2}} ⊗ V_{j_{3}}^{∗}, C) を考える。ここで V_{j_{3}}^{∗} は V_{j_{3}} の双対空間である。これは j_{1}, j_{2}, j_{3} が CG 条件（定義 2.1.3）を満たすとき C と同型になり、不変テンソルの空間 Hom_{𝔤}(V_{j_{1}} ⊗ V_{j_{2}}, V_{j_{3}}) と同一視できる。つまり、テンソル表現 V_{j_{1}} ⊗ V_{j_{2}} の 𝔤-加群としての既約分解 V_{j_{1}} ⊗ V_{j_{2}} = ⊗_{j}V_{j} （ただし各 j について j, j_{1}, j_{2} は CG 条件を満たす）に関する射影

C_{j_{3}}^{j_{1}j_{2}} : V_{j_{1}} ⊗ V_{j_{2}} ⟶ V_{3}

に対応した共形ブロックの空間の基底をとることができる。これを Fig.3 のように表す。

命題 2.3.1 Z_{K}(γ(μ)) の各基底 e_{γ(μ),f} に対し、 𝔤-加群としての準同型写像

C_{γ,f} : V_{j_{1}} ⊗ ⋯ ⊗ V_{j_{n}} ⟶ V_{j_{n+1}}

が１つ決まる。

証明 V_{j_{1}} ⊗ V_{j_{2}} の既約分解 V_{j_{1}} ⊗ V_{j_{2}} = ⊗_{j}V_{j} で、各 j_{1}, j_{2}, j に対しグラフをつなげていくと C_{γ,f} : V_{j_{1}} ⊗ ⋯ ⊗ V_{j_{n}} ⟶ V_{j_{n+1}} が得られる（Fig.4 参照）。 ■

例えばジーナスが 0、穴の数が 4 の球面を考える。マーキング μ は１個の円から成り、２個のパンツに分解できる。適当に番号を取り替えることで

Hom_{𝔤}(V_{j_{1}} ⊗ V_{j_{2}} ⊗ V_{j_{3}}, V_{j_{4}}) ≅ Hom_{𝔤}(V_{j_{1}} ⊗ V_{j_{2}} ⊗ V_{j_{3}} ⊗ V_{j_{4}}^{∗}, C)

を考えると Fig.5 の左図では、

C_{γ_{1},j} = C_{j_{4}}^{jj_{3}} ∘ C_{j}^{j_{1}j_{2}} : V_{j_{1}} ⊗ V_{j_{2}} ⊗ V_{j_{3}} ⟶ V_{j_{4}}

同右図では

C_{γ_{2},i} = C_{j_{4}}^{ij_{1}} ∘ C_{i}^{j_{2}j_{3}} : V_{j_{1}} ⊗ V_{j_{2}} ⊗ V_{j_{3}} ⟶ V_{j_{4}}

となる。

命題 2.3.1 より、 Z_{K}(γ(μ)) は Hom_{𝔤}(V_{j_{1}} ⊗ ⋯ ⊗ V_{j_{n}}, V_{j_{n+1}}) の部分空間と思える。

ここで KZ 方程式に話を戻す。考えたいのは Hom_{𝔤}(V_{j_{1}} ⊗ ⋯ ⊗ V_{j_{n}}, V_{j_{n+1}}) に値を持つような関数 Φ(z_{1}, ⋯, z_{n}) に対する KZ 方程式である。

ω = \frac{1}{K + 2} ∑_{1≤i<j≤n} Ω_{ij}d log(z_{i} − z_{j})

とおく。さらに

π : V_{j_{1}} ⊗ ⋯ ⊗ V_{j_{n}} ⊗ Conf_{n}(C) ⟶ Conf_{n}(C)

を自明なベクトル束とすると、 Φ は正則切断と思えて、 ∇Φ := dΦ − ωΦ として ∇ を定義するとこれは接続を与え、 dω = 0, ω ∧ ω = 0 より ∇ は平坦接続となる。

ω は Ω_{ij} の性質から 𝔤𝔩(n, C)-値１次微分形式（接続形式）で自然に End(V_{j_{1}}⊗ ⋯ ⊗ V_{j_{n}}) の元と思える。よって φ ∈ Hom_{𝔤}(V_{j_{1}} ⊗ ⋯ ⊗ V_{j_{n}}, V_{j_{n+1}}) に対し ω · φ := φ ∘ ω と定義することで ω の Hom_{𝔤}(V_{j_{1}} ⊗ ⋯ ⊗ V_{j_{n}}, V_{j_{n+1}}) への自然な作用を考えることができる。

γ の辺 a_{i_{1}···i_{l}}(l ≥ 2) に対し（Fig.6 参照）、ブローアップ座標 ω_{i_{1}···i_{l}} を C^{n} 内の {z_{i_{1}} = ⋯ = z_{i_{l}}} で定義される部分空間の逆像が例外因子 (exceptional divisor) ω_{i_{1}···i_{l}} = 0 となるようにとる。このとき、接続 ω の例外因子 ω_{i_{1}···i_{l}} = 0 に沿った留数は C_{γ,f} に関する対角行列で表されて、

(Res_{ω_{i_{1}···i_{l}} =0} ω) · C_{γ,f} = Δ(i_{1}, ⋯, i_{l}) · C_{γ,f}

となる。ただし Δ は

Δ(i_{1}, ⋯, i_{l}) := Δ_{f(a_{i_{1}···i_{l}})} − ∑_{p=1}^{l} Δ_{f(a_{ip})}

Δ_{j} := \frac{j(j + 1)}{K + 2}

を満たすとする。

例:n=3 の時を考える。まず必要になる C^{2} の原点におけるブローアップを復習する。

C̃^{2} := {((x, y), [a : b]) ∈ C^{2} × P^{1}(C)|ay − bx = 0}

とする。これは P^{1}(C) 上の自然な線束 (tautological line bundle) で、 C^{2} への射影 π を考えると (x, y) ≠ (0, 0) なら π(x, y) は一点、 (x, y) = (0, 0) （例外因子）なら π(x, y) = P^{1}(C) となる。 C̃^{2} 上の局所座標は (1)a ≠ 0 のときは u := \frac{b}{a} とおいて

C̃^{2} ⟶ C^{2}
(x, u) ⟶ ((x, ux), [1 : u])

(2)b ≠ 0 のときは v := \frac{a}{b} とおいて

C̃^{2} ⟶ C^{2}
(v, y) ⟶ ((vy, y), [v : 1])

ととれる。

n=3 の時の KZ 方程式に話を戻す。 KZ 方程式は平行移動で不変であるから z_{1} = 0 としてよい。 z_{2} = u_{1}u_{2}, z_{3} = u_{2} と座標変換して z_{1} = z_{2} = z_{3} をブローアップすると、 ω は u_{1} = u_{2} = 0 のまわりで

ω = \frac{1}{K + 2} ∑_{1≤i<j≤3} Ω_{ij} \frac{dz_{i} − dz_{j}}{z_{i} − z_{j}}
= \frac{1}{K + 2}(Ω_{12} \frac{dz_{1} − dz_{2}}{z_{1} − z_{2}} + Ω_{13} \frac{dz_{1} − dz_{3}}{z_{1} − z_{3}} + Ω_{23} \frac{dz_{2} − dz_{3}}{z_{2} − z_{3}} )
= \frac{1}{K + 2}(Ω_{12} \frac{−u_{1}du_{2} − u_{2}du_{1}}{−u_{1}u_{2}} + Ω_{13} \frac{−du_{2}}{−u_{2}} + Ω_{23} \frac{u_{2}du_{1} + u_{1}du_{2} − du_{2}}{u_{1}u_{2} − u_{2}} )
= \frac{1}{K + 2}(\frac{Ω_{12}du_{1}}{u_{1}} + \frac{(Ω_{12} + Ω_{13} + Ω_{23})du_{2}}{u_{2}} + \frac{Ω_{23}du_{1}}{u_{1} − 1} )

と表すことができる。よって dΦ = ωΦ を解いて、 KZ 方程式の解は u_{1} = u_{2} = 0 のまわりで

Φ(u_{1}, u_{2}) = u_{1}^{\frac{1}{K+2} Ω_{12}} · u_{2}^{\frac{1}{K+2} Ω_{12}+Ω_{13}+Ω_{23}} · (u_{1} − 1)^{\frac{1}{K+2} Ω_{23}}

という形で表すことができる。

いまは一つの辺を固定して解を求めたが、一般には KZ 方程式の解は

Φ_{γ,f} = ∏_{{i_{1},···,i_{k}}⊂{1,···,n}} ω_{i_{1}···i_{k}}^{Δ(i_{1},···,i_{k})}(C_{γ,f} + 高次正則項)

と書ける。ここで i_{1} < ⋯ < i_{k} であり、 a_{i_{1}···i_{k}} ∈ edge(γ) とする。

定義 2.3.2(接続行列) ４つ穴球面（ジーナスは 0）に対し、 Fig.7 のグラフ γ_{1}, γ_{2} を考える。ただし j_{1}, j_{2}, j_{3}, j_{4} の値は固定し、一つの頂点から三分岐する辺のウエイトは定義 2.1.3 の三条件を満たすとする。このとき、共形ブロックの空間の異なる基底 C_{γ_{1},f_{1}}, C_{γ_{2},f_{2}} が得られ、それぞれに対し KZ 方程式の解は共形ブロックの空間の次元が KZ 方程式の解空間の次元になることから {Φ_{γ_{1},j}}_{j}, {Φ_{γ_{2},i}}_{i} と表すことができる（Fig.7 参照）。それぞれ局所的に得られた解を解析接続することで

Φ_{γ_{1},j} = ∑_{i} F_{ij} [ \begin{matrix}j_{2} & j_{3} \\ j_{1} & j_{4} \end{matrix} ] · Φ_{γ_{2},i}

を満たすような行列 F [ \begin{matrix}j_{2} & j_{3} \\ j_{1} & j_{4} \end{matrix} ] := (F_{ij} [ \begin{matrix}j_{2} & j_{3} \\ j_{1} & j_{4} \end{matrix} ])_{i,j} が得られる。これ

を接続行列 (fusing matrix) という。

Remark 接続行列は Z_{K}(γ_{1}) ≅ Z_{K}(γ_{2}) の同型を与えている。

定義 2.3.3(組みひも行列) Fig.8 のグラフを考える。 σ_{1}, σ_{2} をそれぞれ z_{1} と z_{2}、 z_{2} と z_{3} を入れ替える作用とし、 σ_{1}, σ_{2} で生成される群を基本組みひも群という（Fig.9 参照）。 σ を基本組みひも群の元とする。グラフ γ_{1} に対する KZ 方程式の解 Φ_{γ_{1},j}(z_{1}, z_{2}, z_{3}) を |z_{1}| < |z_{2}| < |z_{3}| の範囲で考える。 σ^{∗}Φ_{γ_{1},j}(z_{1}, z_{2}, z_{3}) を σ に関して解析接続して得られた解とする。 γ_{4} に対して Hom_{𝔤}(V_{j_{1}}⊗V_{j_{3}}⊗V_{j_{2}}, V_{j_{4}}) に値をとる局所的な解を Φ_{γ_{4},i}(z_{1}, z_{3}, z_{2}) で表す（これは |z_{1}| < |z_{3}| < |z_{2}| の範囲で定義される）。局所解を解析接続して

σ^{∗}Φ_{γ_{1},j}(z_{1}, z_{2}, z_{3}) = ∑_{i} B_{ij} [ \begin{matrix}j_{2} & j_{3} \\ j_{1} & j_{4} \end{matrix} ] · Φ_{γ_{4},i}(z_{1}, z_{3}, z_{2})

を満たすような行列 B [ \begin{matrix}j_{2} & j_{3} \\ j_{1} & j_{4} \end{matrix} ] := (B_{ij} [ \begin{matrix}j_{2} & j_{3} \\ j_{1} & j_{4} \end{matrix} ])_{i,j} が得られる。これ

を組みひも行列 (braiding matrix) という。

Remark 接続行列と組みひも行列の間の関係式は数多く存在する（例えば [20]pp197-200,[23]pp200-203, [25]pp194-202 参照）。さらに組みひも行列に関しては [18] に詳しい記述が存在する。

第3章写像類群の表現と Heegaard分解を用いた３ 次元多様体の位相不変量の 構成

この章では [19] で T.Kohno によって構成された３次元多様体の位相不変量を導入する。まず第１節では位相不変量を構成するために必要な写像類群の線形射影表現について述べる。第２節ではそれを基に、位相不変量を定義する。第３節では写像類群の表現の例をいくつか与え、実際に行列の形で書き表す。

3.1 写像類群の線形射影表現

以下では Σ_{g,n} を向きづけ可能でジーナスが g、穴の数が n の曲面とする。 Diff^{+}Σ_{g,n} で Σ_{g,n} の向きを保つ微分同相写像からなる集合を表すとする。

定義 3.1.1(写像類群) イソトピー類 π_{0}(Diff^{+}Σ_{g,n}) を Σ_{g,n} の写像類群 (mapping class group) という。これを M_{g,n} で表す。また、 M_{g} := M_{g,0} とする。

Σ_{g,n} のマーキング μ に対し、 Z_{K}(γ(μ)) への M_{g,n} の作用を定義する。 a ∈ edge(γ(μ)) に対し、線形写像 T_{a} ∈ End(Z_{K}(γ(μ))) を以下で定義する。

T_{a} · e_{γ(μ),f} := exp(2π\sqrt{−1}(Δ_{f(a)} − \frac{c}{24})) · e_{γ(μ),f}

ここで、 \{e_{γ(μ),f}\}_{f} は Z_{K}(γ(μ)) の基底で、 Δ_{j} := \frac{j(j+1)}{K+2}、 c := \frac{3K}{K+2} とする。

g = 1, n = 1 とし、このときの写像類群の作用を考える。グラフを Γ_{1} とする (Fig.10 参照)。ある j ∈ P_{K} に対し、ベクトル空間 Z_{K}(Γ_{1} : b : j) を考える（つまり辺 b のウエイトが j）。同様に g = 1, n = 2 の時のグラフを Γ_{2} とし、ベクトル空間 Z_{K}(Γ_{2} : b_{1}, b_{2} : j_{1}, j_{2}) を考える。ベクトル空間の同型写像

F_{Γ_{1}Γ_{2}} : Z_{K}(Γ_{2} : b_{1}, b_{2} : j_{1}, j_{2}) ⟶ ⊕_{j}Z_{K}(Γ_{1} : b : j)

を考える。ただし、 j ∈ P_{K} は j_{1}, j_{2}, j について定義 2.1.3 の三条件を満たす数を動くとする。

f : edge(Γ_{2}) ⟶ P_{K} を f(a) = i_{1}, f(a′) = i_{2} を満たす受容ウエイトとする。この f に対応する Z_{K}(Γ_{2} : b_{1}, b_{2} : j_{1}, j_{2}) の基底を e_{i_{1}i_{2}} とする。さらに線形作用素 B の Z_{K}(Γ_{2} : b_{1}, b_{2} : j_{1}, j_{2}) への作用を、組みひも行列を用いて

Be_{i_{1}i_{2}} := ∑_{l} B_{li_{1}} [ \begin{matrix}j_{1} & j_{2} \\ i_{1} & i_{1} \end{matrix} ] e_{li_{2}}

で定義する。

定義 3.1.2(交換作用素) 以下の三条件を満たす S_{K}(j) ∈ End(Z_{K}(Γ_{1} : b : j)) を交換作用素 (switching operator) という。

(1) S_{K}(j)^{2} = (−1)^{j} exp(−π\sqrt{−1}Δ_{j}) · id

(2) (S_{K}(j)T_{a})^{3} = S_{K}(j)^{2}

(3) S_{K}(j_{1}, j_{2}) := F_{Γ_{1}Γ_{2}}^{−1}(⊕_{j}S_{K}(j))F_{Γ_{1}Γ_{2}} としたとき S_{K}(j_{1}, j_{2})T_{a}^{−1}T_{a′}S_{K}(j_{1}, j_{2})^{−1} = B

ただし (3) で j は j_{1}, j_{2}, j について定義 2.1.3 の三条件を満たす数を動くとする。

以下では K を固定して考えるときは K を省略して S(j) で表す。同様に S_{K}(j_{1}, j_{2}) についても S(j_{1}, j_{2}) で表す。

Remark S(j)_{pq} を S(j) を行列で表したときの (p, q) 成分とすると、以下の表現が存在（[23]pp214-222,[35] 参照）。

S(0)_{pq} =\sqrt{\frac{2}{K + 2}} sin(\frac{(2p + 1)(2q + 1)}{K + 2}π) (0 ≤ p, q ≤ \frac{K}{2} )

S(j)_{pq} = ∑_{l} exp(2π\sqrt{−1}(Δ_{l} − Δ_{p} − Δ_{q})) · S(0)_{0l}B_{pq} [ \begin{matrix}j & l \\ q & p \end{matrix} ]

(\frac{j}{2} ≤ p, q ≤ \frac{K − j}{2} )

Σ_{g} のマーキングに対するグラフ λ を考える（Fig.11 参照）。 Σ_{g} を境界にもつようなソリッドトーラスを V とする。 V 内の円盤 Δ を以下の二条件を満たすようにとる。

(1) グラフ λ の辺 a に対し、 λ と a は横断的に一点で交わる。

(2) ∂Δ ⊂ ∂V 定義 3.1.3(Dehn のひねり) 写像類群の要素で、 Fig.12 のようにある閉曲線 C に沿って曲面を切り開き、 2π ひねって貼り直す操作に対応する微分同相写像を C に沿った Dehn のひねり (Dehn twist) といい、そのイソトピー類を τ_{c} で表す。

α を ∂Δ に沿った Dehn のひねりとし、閉曲線 ∂Δ に対応するグラフの辺を a とする。また、 ᾱ := T_{a}^{−1} ∈ End(Z_{K}(λ)) と定義する。

α_{1}, ⋯, α_{g}, β_{1}, ⋯, β_{g}, δ_{2}, ⋯, δ_{g}, ϵ_{2}, ⋯, ϵ_{g} をそれぞれ Σ_{g} 内の Fig.13 の閉曲線に沿った Dehn のひねりとする。このとき、上で定義した方法により End(Z_{K}(γ)) の元 ᾱ_{1}, ⋯, ᾱ_{g}, δ̄_{2}, ⋯, δ̄_{g}, ϵ̄_{2}, ⋯, ϵ̄_{g} が定義できる（Fig.14 参照）。ただし任意の受容ウエイト f に対して f(a_{1}) = f(c_{1}), f(a_{g}) = f(c_{g}) とする。さらに、 β̄_{1}, ⋯, β̄_{g} を定義するために Fig.14 のように閉曲線 c_{1}, ⋯, c_{g−1} により Σ_{g} を分解する。グラフ γ, λ は共に (2g − 2) 個の頂点から成っており、 Z_{K}(γ) と Z_{K}(λ) の間には接続行列によりベクトル空間としての自然な同型が存在する。

交換作用素 S_{K} に対し、

S_{b_{i}} · e_{γ,f} := S_{K}(f(b_{i})) · e_{γ,f} (i = 1, g − 1)

と定義し、

β̄_{1} = T_{a_{1}}S_{b_{1}}T_{a_{1}}  β̄_{g} = T_{a_{g}}S_{b_{g−1}}T_{a_{g}}

で定義する。さらに β̄_{2}, ⋯, β̄_{g−1} に関しては

S_{b_{l−1},b_{l}} · e_{γ,f} := S_{K}(f(b_{l−1}), f(b_{l})) · e_{γ,f} (l = 2, ⋯, g − 1)

として

β̄_{l} = T_{c_{l}}S_{b_{l−1},b_{l}}T_{c_{l}} (l = 2, ⋯, g − 1)

で定義する。作り方より β̄_{1}, ⋯, β̄_{g} ∈ End(Z_{K}(γ)) は容易に分かる。

これで Fig.14 のグラフ γ に対し ᾱ_{1}, ⋯, ᾱ_{g}, β̄_{1}, ⋯, β̄_{g}, δ̄_{2}, ⋯, δ̄_{g}, ϵ̄_{2}, ⋯, ϵ̄_{g} ∈ End(Z_{K}(γ)) が定義できた。

命題 3.1.4 Γ_{K} を exp(2π\sqrt{−1}\frac{c}{24})·id で生成される GL(Z_{K}(γ)) の部分群（巡回群）とする。ただし c = \frac{3K}{K+2} である。このとき、 ᾱ_{1}, ⋯, ᾱ_{g}, β̄_{1}, ⋯, β̄_{g}, δ̄_{2}, ⋯, δ̄_{g}, ϵ̄_{2}, ⋯, ϵ̄_{g} は well-defined な準同型

ρ_{K} : M_{g} ⟶ GL(Z_{K}(γ))/Γ_{K}

を決定する。

命題 3.1.4 の証明のためにいくつか補題を用意する（この命題の証明は [25] Appendix.B を参考にした）。 Fig.14 のグラフ γ の場合を考える。

補題 3.1.5 グラフの辺 a に対し、 D_{a} ∈ End(Z_{K}(γ)) を

D_{a} · e_{γ,f} := (\sqrt{−1})^{2f(a)} exp(π\sqrt{−1}Δ_{f(a)}) · e_{γ,f} ∈ Z_{K}(γ)

で定義する。さらに t : edge(γ) ⟶ edge(γ) を t(a_{l}) = t(c_{l}), t(b_{l}) = t(b_{l}), t(a_{l}) = t(c_{l}) (l = 2, ⋯, g) で定義される写像とする。 t に対し、 P_{a_{l}c_{l}} ∈ End(Z_{K}(γ)) を P_{a_{l}c_{l}}·e_{γ,f} = e_{γ,f∘t} で定義する。このとき、 β̄_{l}T_{a_{l}}^{−1}T_{c_{l}}^{−1}β̄_{l} = D_{b_{l−1}}^{−1}D_{b_{l}}^{−1}T_{a_{l}}T_{c_{l}}P_{a_{l}c_{l}} (l = 2, ⋯, g)

証明 β̄_{l} の定義に従い計算するだけである。交換作用素の性質に注意して、

β̄_{l}T_{a_{l}}^{−1}T_{c_{l}}^{−1}β̄_{l} = T_{c_{l}}S_{b_{l−1},b_{l}}T_{c_{l}}T_{a_{l}}^{−1}T_{c_{l}}^{−1}T_{c_{l}}S_{b_{l−1},b_{l}}T_{c_{l}}
= T_{c_{l}}S_{b_{l−1},b_{l}}T_{a_{l}}^{−1}T_{c_{l}}S_{b_{l−1},b_{l}}T_{c_{l}}
= T_{c_{l}}BS_{b_{l−1},b_{l}}^{2}T_{c_{l}}
= T_{c_{l}}B · (−1)^{f(b_{l−1})} exp(−π\sqrt{−1}Δ_{f(b_{l−1})})
·(−1)^{f(b_{l})} exp(−π\sqrt{−1}Δ_{f(b_{l})})T_{c_{l}}
= T_{c_{l}}BD_{b_{l−1}}^{−1}D_{b_{l}}^{−1}T_{c_{l}}
= T_{c_{l}}D_{b_{l−1}}^{−1}D_{b_{l}}^{−1}P_{a_{l}c_{l}}T_{c_{l}}
= D_{b_{l−1}}^{−1}D_{b_{l}}^{−1}T_{a_{l}}T_{c_{l}}P_{a_{l}c_{l}}■

補題 3.1.6 β̄_{l}ᾱ_{l}β̄_{l−1}β̄_{l−2} ⋯ β̄_{1}ᾱ_{1}^{2}β̄_{1} ⋯ β̄_{l−2}β̄_{l−1}ᾱ_{l}β̄_{l} = T_{a_{l}}T_{c_{l}}D_{b_{l}}^{−1}P_{a_{2}c_{2}} ⋯ P_{a_{l}c_{l}} (mod Γ_{K}) （ただし、 1 ≤ l ≤ g, a_{1} = c_{1}, a_{g} = c_{g} とする。）

証明 l に関する帰納法で示す。 l = 1 のときは交換作用素の性質より

β̄_{1}ᾱ_{1}^{2}β̄_{1} = T_{a_{1}}S_{b_{1}}T_{a_{1}}(T_{a_{1}}^{−1})^{2}T_{a_{1}}S_{b_{1}}T_{a_{1}}
= T_{a_{1}}S_{b_{1}}^{2}T_{a_{1}}
= T_{a_{1}}T_{c_{1}}D_{b_{1}}^{−1}

となり成立する。 l 以下の場合に成立すると仮定して l + 1 の時を考える。４つ穴球面に対し、接続行列と組みひも行列の間に

B [ \begin{matrix}j_{2} & j_{3} \\ j_{1} & j_{4} \end{matrix} ] = F [ \begin{matrix}j_{3} & j_{2} \\ j_{1} & j_{4} \end{matrix} ]^{−1} · A · F [ \begin{matrix}j_{2} & j_{3} \\ j_{1} & j_{4} \end{matrix} ]

が成立する。ただし、 A は対角行列 diag_{i}((−1)^{j_{2}+j_{3}−i} exp(π\sqrt{−1}(Δ_{i} − Δ_{j_{2}} − Δ_{j_{3}}))) とする（[25]pp223 参照）。これを j_{1} = f(c_{l}), j_{2} = f(a_{l}), j_{3} = f(a_{l+1}), j_{4} = f(c_{l+1}), i = f(b_{l}) として適用すると（Fig.15 参照）、組みひも行列の定義より

B [ \begin{matrix}j_{2} & j_{3} \\ j_{1} & j_{4} \end{matrix} ] · B [ \begin{matrix}j_{3} & j_{2} \\ j_{1} & j_{4} \end{matrix} ] = E(単位行列)

であることから

T_{a_{l+1}}^{−1}T_{a_{l}}T_{c_{l}}D_{b_{l}}^{−1}P_{a_{l}c_{l}}T_{a_{l+1}}^{−1} = T_{a_{l}}T_{c_{l}}D_{b_{l}}T_{a_{l+1}}^{−1}T_{c_{l+1}}^{−1}P_{a_{l}c_{l}}

が成立する。この関係式と補題 3.1.5 より計算すると

β̄_{l+1}ᾱ_{l+1}β̄_{l}β̄_{l−1} ⋯ β̄_{1}ᾱ_{1}^{2}β̄_{1} ⋯ β̄_{l−1}β̄_{l}ᾱ_{l+1}β̄_{l+1}

= (ᾱ_{l}^{−1})^{2}β̄_{l+1}ᾱ_{l+1}β̄_{l}ᾱ_{l}β̄_{l−1} ⋯ β̄_{1}ᾱ_{1}^{2}β̄_{1} ⋯ β̄_{l−1}ᾱ_{l}β̄_{l}ᾱ_{l+1}β̄_{l+1} = (ᾱ_{l}^{−1})^{2}β̄_{l+1}ᾱ_{l+1}T_{a_{l}}T_{c_{l}}D_{b_{l}}^{−1}P_{a_{2}c_{2}} ⋯ P_{a_{l}c_{l}} ᾱ_{l+1}β̄_{l+1} = (ᾱ_{l}^{−1})^{2}β̄_{l+1}T_{a_{l+1}}^{−1}T_{a_{l}}T_{c_{l}}D_{b_{l}}^{−1}P_{a_{2}c_{2}} ⋯ P_{a_{l}c_{l}}T_{a_{l+1}}^{−1} β̄_{l+1} = (ᾱ_{l}^{−1})^{2}β̄_{l+1}T_{a_{l}}T_{c_{l}}D_{b_{l}}T_{a_{l+1}}^{−1}T_{c_{l+1}}^{−1}P_{a_{2}c_{2}} ⋯ P_{a_{l}c_{l}} β̄_{l+1} = D_{b_{l}} β̄_{l+1}T_{a_{l+1}}^{−1}T_{c_{l+1}}^{−1} β̄_{l+1}P_{a_{2}c_{2}} ⋯ P_{a_{l}c_{l}} = D_{b_{l}}D_{b_{l}}^{−1}D_{b_{l+1}}^{−1}T_{a_{l+1}}T_{c_{l+1}}P_{a_{2}c_{2}} ⋯ P_{a_{l+1}c_{l+1}} = T_{a_{l+1}}T_{c_{l+1}}D_{b_{l+1}}^{−1}P_{a_{2}c_{2}} ⋯ P_{a_{l+1}c_{l+1}}■ さらに

J_{l} := β_{l+1}α_{l+1}(β_{l}δ_{l}α_{l}β_{l})α_{l+1}β_{l+1}β_{l−1}α_{l}(β_{l}δ_{l}α_{l}β_{l})α_{l}β_{l−1}
G_{l} := β_{l}α_{l} ⋯ β_{1}α_{1}^{2}β_{1} ⋯ α_{l}β_{l}

とすると、 M_{g} においては

δ_{l+1} = J_{l}δ_{l−1}J_{l}^{−1}
ϵ_{l} = G_{l}δ_{l}G_{l}^{−1}

が成立することが知られている（[25]pp231 参照）。これより、 δ_{1} = ϵ_{1} = α_{1} に注意して次の補題が成立する。

補題 3.1.7

J̄_{l} := β̄_{l+1}ᾱ_{l+1}(β̄_{l}δ̄_{l}ᾱ_{l}β̄_{l})ᾱ_{l+1}β̄_{l+1}β̄_{l−1}ᾱ_{l}(β̄_{l}δ̄_{l}ᾱ_{l}β̄_{l})ᾱ_{l}β̄_{l−1}
Ḡ_{l} := β̄_{l}ᾱ_{l} ⋯ β̄_{1}ᾱ_{1}^{2}β̄_{1} ⋯ ᾱ_{l}β̄_{l}

としたとき

J̄_{l}δ̄_{l−1}J̄_{l}^{−1} = δ̄_{l+1}
Ḡ_{l}δ̄_{l}Ḡ_{l}^{−1} = ϵ̄_{l}

が成立する。 □

以上の準備を基にして、命題 3.1.4 を証明する。証明写像類群は Dehn のひねりで生成される（[5]chap.4,[24] 参照）。さらに M_{g} は (2g + 1) 個の Dehn のひねり α_{1}, ⋯, α_{g}, β_{1}, ⋯, β_{g}, δ_{2} で生成されることが知られている（[16] 参照）。さらに Wajnryb が [36] で以下の５つの関係式 (A) − (E) が成立するときに、これらの生成元を用いて M_{g} の表現を構成した。

(A)  \{ \begin{matrix}αβα = βαβ  (if α and β intersect) \\ αβ = βα  (otherwise) \end{matrix}
(B) (δ_{2}β_{2}α_{2}β_{1}α_{1}^{2}β_{1}α_{2}β_{2}δ_{2})^{2} = 1 (if g = 2)
(C) (α_{1}β_{1}α_{2})^{4} = ϵ_{2}δ_{2}
(D) b_{2}δ_{2}b_{1} = α_{1}α_{2}α_{3}δ_{3}
ただし、 b_{1} := (β_{2}α_{2}α_{3}β_{2})^{−1}δ_{2}(β_{2}α_{2}α_{3}β_{2})
b_{2} := (β_{1}α_{1}α_{2}β_{1})^{−1}b_{1}(β_{1}α_{1}α_{2}β_{1})
(E) δ_{g} = G_{g}δ_{g}G_{g}^{−1}

よって、ここでは各行列 ᾱ_{1}, ⋯, ᾱ_{g}, β̄_{1}, ⋯, β̄_{g}, δ̄_{2}, δ̄_{3}, ϵ̄_{2} について上の５つの関係式が mod Γ_{K} で成立することを示す。

(A) 上式は交換作用素の性質 (S(j)T_{a})^{3} = S(j)^{2} より従う。下式は ρ_{K} の定義より可換になることが分かる。

(B) 補題 3.1.6 を l = 2 の場合に適用すると

左辺 = exp(2π\sqrt{−1}(Δ_{f(a_{2})} − \frac{c}{24})) · \{exp(2π\sqrt{−1}(Δ_{f(a_{2})} − \frac{c}{24}))\}^{2}

×(−1)^{f(b_{2})} exp(π\sqrt{−1}Δ_{f(b_{2})}) · \{exp(2π\sqrt{−1}(Δ_{f(a_{2})} − \frac{c}{24}))\}^{2}

×\{exp(2π\sqrt{−1}(Δ_{f(a_{2})} − \frac{c}{24}))\}^{2} · (−1)^{f(b_{2})} exp(π\sqrt{−1}Δ_{f(b_{2})})

× exp(2π\sqrt{−1}(Δ_{f(a_{2})} − \frac{c}{24}))

= \{exp(2π\sqrt{−1}\frac{c}{24})\}^{−8}
= 1 (mod Γ_{K})

(C) Fig.16 より、交換作用素の性質から

F_{Γ_{1}Γ_{2}}^{−1}(S_{K}(j) + S_{K}(j′))F_{Γ_{1}Γ_{2}} · T_{j_{1}}^{−1}T_{j_{2}} · F_{Γ_{1}Γ_{2}}^{−1}(S_{K}(j) + S_{K}(j′))F_{Γ_{1}Γ_{2}}

= P j_{1}j_{2} · exp(−π\sqrt{−1}(Δ_{j_{1}} + Δ_{j_{2}}))

よって

(ᾱ_{1}β̄_{1}ᾱ_{2})^{4} = {S(j_{1}, j_{2})ᾱ_{1}^{−1}ᾱ_{2}}^{4}
= \{P j_{1}j_{2} · exp(−π\sqrt{−1}(Δ_{j} + Δ_{j′})) · ᾱ_{1}^{−1}ᾱ_{2}\}^{2}
= exp(−2π\sqrt{−1}(Δ_{j} + Δ_{j′}))
= ϵ̄_{2}δ̄_{2}

(D) 証明の前に (n + 1) 個の穴のある球面の写像類群 M_{0,n+1} について述べる。 ω_{i} を i 番目の穴と (i + 1) 番目の穴を入れ替える写像類群の元（Fig.17 参照）、 R_{l} を l 番目の穴の境界に平行な円に対する Dehn のひねりとすると、 M_{0,n+1} は ω_{i} (1 ≤ i ≤ n), R_{l} (1 ≤ i ≤ n + 1) で生成されることが知られている。また、 ω_{i}, R_{l} には次の関係式が存在する。

(1) ω_{i}ω_{j} = ω_{j}ω_{i} (if |i − j| > 1)

ω_{i}R_{l} = R_{l}ω_{i}

(2) ω_{i}ω_{i+1}ω_{i} = ω_{i+1}ω_{i}ω_{i+1}

(3) ω_{1}ω_{2} ⋯ ω_{n−1}ω_{n}^{2}ω_{n−1} ⋯ ω_{2}ω_{1} = R_{1}^{2}

(4) (ω_{1} ⋯ ω_{n})^{n+1} = ∏_{l} R_{l}

補題 3.1.8([25]pp223-228) Σ_{0,n+1} のマーキングに対し構成されるグラフを γ とする。 Z_{K}(γ) の基底のうち、 Fig.18 のグラフに対応する基底を e(j_{1}, ⋯, j_{n+1} : i_{2}, ⋯, i_{n−1}) としたとき、準同型 π_{K} : M_{0,n+1} ⟶ GL(Z_{K}(γ)) を以下で定義する。 π_{K}(R_{l}) := exp(−2π\sqrt{−1}Δ_{j_{l}}) · id (1 ≤ l ≤ n + 1)

π_{K}(ω_{1}) · e(j_{1}, ⋯, j_{n+1} : i_{2}, ⋯, i_{n−1}) := (−1)^{j_{1}+j_{2}−i_{2}} exp(π\sqrt{−1}(Δ_{i_{2}}−Δ_{j_{1}}−Δ_{j_{2}}))·e(j_{2}, j_{1}, j_{3}, ⋯, j_{n+1} : i_{2}, ⋯, i_{n−1})

π_{K}(ω_{s}) · e(j_{1}, ⋯, j_{n+1} : i_{2}, ⋯, i_{n−1})

:= ∑_{i′_{s}} B_{i′_{s}i_{s}} [ \begin{matrix}j_{s} & j_{s+1} \\ i_{s−1} & i_{s+1} \end{matrix} ] · e(j_{1}, ⋯, j_{s−1}j_{s+1}j_{s} · j_{n+1} : i_{2}, ⋯, i′_{s} ⋯ i_{n−1})

(2 ≤ s ≤ n − 1)

（ただし i′_{s} は Fig.19 において定義 2.1.3 の三条件を満たす範囲を動くものとする。）

π_{K}(ω_{n}) · e(j_{1}, ⋯, j_{n+1} : i_{2}, ⋯, i_{n−1}) := (−1)^{i_{n−1}+j_{n}−j_{n+1}} · exp(π\sqrt{−1}(Δ_{j_{n+1}} − Δ_{i_{n−1}} − Δ_{j_{n}}))

· e(j_{1}, ⋯, j_{n−1}, j_{n+1}, j_{n} : i_{2}, ⋯, i_{n−1}) （ただし i_{1} = j_{1}, i_{n} = j_{n+1} とする。）

このとき、関係式 (1)-(4) は π_{K} を用いて GL(Z_{K}(γ)) 内で考えても成立する。

証明

(1) は自明。 (2) は Fig.20 より分かる。 (3) は実際に計算すると

π(ω_{1})π(ω_{2}) ⋯ π(ω_{n−1})π(ω_{n}^{2})π(ω_{n−1}) ⋯ π(ω_{2})π(ω_{1})

= B [ \begin{matrix}j_{1} & j_{2} \\ ∗ & ∗ \end{matrix} ] F [ \begin{matrix}j_{2} & j_{1} \\ ∗ & ∗ \end{matrix} ] ⋯ F [ \begin{matrix}j_{1} & j_{n} \\ ∗ & ∗ \end{matrix} ] F [ \begin{matrix}j_{n} & j_{1} \\ ∗ & ∗ \end{matrix} ] B [ \begin{matrix}j_{1} & j_{1} \\ 0 & 0 \end{matrix} ]^{2}

F [ \begin{matrix}j_{1} & j_{2} \\ ∗ & ∗ \end{matrix} ]^{−1} F [ \begin{matrix}j_{2} & j_{1} \\ ∗ & ∗ \end{matrix} ]^{−1} ⋯ F [ \begin{matrix}j_{1} & j_{n} \\ ∗ & ∗ \end{matrix} ]^{−1} F [ \begin{matrix}j_{n} & j_{1} \\ ∗ & ∗ \end{matrix} ]^{−1}

= (∏ F) · exp(−4π\sqrt{−1}Δ_{j_{1}}) · (∏ F)^{−1}
= exp(−4π\sqrt{−1}Δ_{j_{1}})
= π(R_{1}^{2})

(4) は帰納法で示す。 n = 1 のときは (3) より

(π_{K}(ω_{1}^{2})) = π_{K}(R_{1})^{2} = π_{K}(R_{1}) · π_{K}(R_{2})

となり成立。 n ≤ l のときの成立を仮定する。 n = l + 1 のとき

π_{K}((ω_{1} ⋯ ω_{l})^{l+1}) = exp(−2π\sqrt{−1}(Δ_{j_{l+1}} + Δ_{j_{l}} − Δ_{s}))
· exp(−2π\sqrt{−1}(Δ_{j_{1}} + ⋯ + Δ_{j_{l−l}} + Δ_{s}))

= exp(−2π\sqrt{−1}(Δ_{j_{1}} + ⋯ + Δ_{j_{l+l}}))
= ∏_{i} R_{i} ■

これを基にして (D) を示す。 (D) は４つ穴球面の場合に帰着できる（Fig.21 参照）。 Fig.21 の４つ穴球面で α_{1} = R_{1}, α_{2} = R_{2}, α_{3} = R_{3}, δ_{3} = R_{4} とすると b_{2} = R_{2}R_{3}ω_{2}^{−1}, δ_{2} = R_{1}R_{2}ω_{1}^{−2}, b_{1} = R_{1}R_{3}ω_{1}ω_{2}^{−2}ω_{1} である。このとき、

b_{2}δ_{2}b_{1} = R_{1}^{2}R_{2}^{2}R_{3}^{2}ω_{2}^{−1}ω_{1}^{−2}ω_{1}ω_{2}^{−2}ω_{1}

となるが、ここで

R_{1}R_{2}R_{3}R_{4} = (ω_{1}ω_{2}ω_{3})^{4} = ω_{1}^{−1}ω_{2}^{2}ω_{1}^{−1}ω_{1}^{2}ω_{2}R_{4}^{2}

であるから

b_{2}δ_{2}b_{1} = R_{1}^{2}R_{2}^{2}R_{3}^{2}(R_{1}^{−1}R_{2}^{−1}R_{3}^{−1}R_{4}) = R_{1}R_{2}R_{3}R_{4}

となる。よって ρ_{K}(b_{2}) := π_{K}(R_{2}R_{3}ω_{2}^{−1})

ρ_{K}(δ_{2}) := π_{K}(R_{1}R_{2}ω_{1}^{−2})
ρ_{K}(b_{1}) := π_{K}(R_{1}R_{3}ω_{1}ω_{2}^{−2}ω_{1})

とすればよい。

(E) δ_{g} = ϵ_{g} と補題 3.1.7 より従う。

これで命題 3.1.4 が示せた。 ■

3.2 Heegaard 分解と位相不変量 ϕ_{K}(M) の定義

この節では向きづけ可能な３次元閉多様体 M に対して、位相不変量 ϕ_{K}(M) を定義する。まず、３次元多様体の Heegaard 分解について述べる。

定義 3.2.1(Heegaard 分解) M があるジーナスのハンドル体（ソリッドトーラス） V_{1}, V_{2} を用いて M = V_{1} ∪ V_{2} (V_{1} ∩ V_{2} = ∂V_{1} = ∂V_{2}) と表せるとき、 (V_{1}, V_{2}) を M の Heegaard 分解という。

定義 3.2.2(同値な Heegaard 分解) (V_{1}, V_{2})、 (V′_{1}, V′_{2}) を M の Heegaard 分解とする。このとき、 φ(V_{1}) = V′_{1}, φ(V_{2}) = V′_{2} を満たすような向きを保つ同相写像 φ : V_{1} ∪ V_{2} ⟶ V′_{1} ∪ V′_{2} が存在するならば V_{1} ∪ V_{2} と V′_{1} ∪ V′_{2} は同値という。 Remark 任意の向きづけ可能な３次元閉多様体には Heegaard 分解が存在する。これは３次元多様体の単体分割とその双対分割を考え、それぞれについて０単体と１単体からなる部分複体の正則近傍をとることにより示すことができる（[40] 参照）。

(V_{1}, V_{2}) を M の Heegaard 分解とする。このとき、境界のはり合わせの同相写像を h : ∂V_{1} ⟶ ∂V_{2} とする。写像 h によってはり合わせてできる３次元多様体を V_{1} ∪_{h} V_{2} で表す。 ∂V_{1} = ∂V_{2} のジーナスを g とすると h のイソトピー類は M_{g} の元を定義する。

∂V_{1} = ∂V_{2} = Σ_{g} のマーキングを一つ固定し、そこから構成されるグラフを γ とする。受容ウエイト f : edge(γ) ⟶ P_{K} の中で、 γ の任意の辺に対し恒等的に 0 になるようなウエイトに対応する Z_{K}(γ) の元（１つの基底）を e_{γ,0} で表す。 ρ_{K} : M_{g} ⟶ GL(Z_{K}(γ))/Γ_{K} に対し、

ρ_{K}(h) · e_{γ,0} := ρ_{K}(h)_{00}e_{γ,0} + ∑_{f≠0} ρ_{K}(h)_{f,0} · e_{γ,f}

と定義する。 ρ_{K}(h)_{00} は {C^{∗}/Γ_{K}} ∪ {0} の元と思える。

補題 3.2.3 h ∈ M_{g} に対し、 ρ_{K}(h)_{00} は Σ_{g} のパンツ分解の方法に依存しない。

証明二つの異なる Σ_{g} の分解に対し、 Z_{K}(γ_{1}), Z_{K}(γ_{2}) が構成でき、この二つのベクトル空間の同型は接続行列で与えられる。このときの接続行列の形は、二つのベクトル空間の基底の第一成分をそれぞれ e_{γ_{1},0}, e_{γ_{2},0} とすると

F = [ \begin{matrix}1 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 \\ ⋮ & & ∗ \\ 0 \end{matrix} ]

の形になる。つまり e_{γ_{1},0} を e_{γ_{2},0} にうつす同型写像を考えると f ≠ 0 は保存される。よって補題は従う。 ■

向きづけ可能な３次元閉多様体 M が V_{1} ∪_{h} V_{2} と表されるとする。 ∂V_{1} = ∂V_{2} = Σ_{g} とする。このとき、

ϕ_{K}(M) := (\sqrt{\frac{2}{K + 2}} sin \frac{π}{K + 2})^{−g} · ρ_{K}(h)_{00}

と定義する。以下の二つの定理はこの章のメインとなる定理である。

定理 3.2.4 V_{1} ∪_{h} V_{2}、 V′_{1} ∪_{h′} V′_{2} を同値な Heegaard 分解とする。（つまり、 φ(V_{1}) = V′_{1}, φ(V_{2}) = V′_{2} を満たすような向きを保つ同相写像 φ : V_{1} ∪_{h} V_{2} ⟶ V′_{1} ∪_{h′} V′_{2} が存在し、 h′ = (φ|_{∂V_{2}}) ∘ h ∘ (φ^{−1}|_{∂V′_{1}}) が成立する。）このとき、 h と h′ に関して

ρ_{K}(h)_{00} = ρ_{K}(h′)_{00} in{C^{∗}/Γ_{K}} ∪ {0}

定理 3.2.5 M_{1}、 M_{2} を共に向きづけ可能な３次元閉多様体とする。 M_{1} と M_{2} の間に向きを保つ同相写像が存在するならば

ϕ_{K}(M_{1}) = ϕ_{K}(M_{2}) in{C^{∗}/Γ_{K}} ∪ {0}

この二つの定理の証明のためにいくつか準備をする。 V がジーナスが g のハンドル体のとき、 H(∂V) を、 ∂V からそれ自身への向きを保つ同相写像を元とする群、 H^{∗}(∂V) を、 ∂V からそれ自身への向きを保つ同相写像で、 V からそれ自身への同相写像に拡張できるような写像を元とする群、と定義する。さらに、 M_{g}^{∗} を H^{∗}(∂V) の元のイソトピー類を要素として持つような M_{g} の部分群とする。

まず R^{3} 内の球 B^{3} を考える。 ∂B^{3} 上には g 個の互いに交わらない 2-胞体 C_{1}, ⋯ C_{g} が存在すると仮定する。さらに Int(C_{i}) 内に二つの互いに交わらない 2-胞体 B_{i0}, B_{i1} (1 ≤ i ≤ g) をとる。

D^{2} を R^{2} 内の単位円盤、 I を単位区間 [0, 1] とする。写像

h_{i} : D^{2} × I ⟶ R^{3} (1 ≤ i ≤ g)

を以下の三条件を満たす埋め込みとする。

(1) h_{i}(D^{2} × {0}) = B_{i0} h_{i}(D^{2} × {1}) = B_{i1}

(2) B^{3} ∩ h_{i}(D^{2} × I) = ∂B^{3} ∩ h_{i}(D^{2} × ∂I) = B_{i0} ∪ B_{i1}

(3) h_{i}(D^{2} × I) ∩ h_{j}(D^{2} × I) = ∅ (i ≠ j)

こうして得られるジーナスが g のハンドル体 V = B^{3} ∪ h_{1}(D^{2} × I) ∪ ⋯ ∪ h_{g}(D^{2} × I) を考える。 h_{i}(D^{2} × I) を i 番目のハンドルと呼ぶことにする。ここで V には R^{3} から自然な向きが入り、これより B_{i0}, B_{i1}, C_{i} (1 ≤ i ≤ g) にも向きが入ることに注意しておく。

∂B_{i0} = b_{i}, ∂C_{i} = s_{i} (1 ≤ i ≤ g) とする。 ∂B^{3} − (C_{1} ∪ ⋯ ∪ C_{g}) 内の点 p を１つ固定して、ループ a_{1}, ⋯, a_{g}、弧 d_{1}, ⋯, d_{g} を以下の６つの条件 (A) − (F) を満たすようにとる。（Fig.22 参照） (A) a_{i} ∩ b_{i} = { １点 } (B) a_{i} ∩ s_{i} = ∅ (C) ∂d_{i} = p ∪ (a_{i} ∩ b_{i}) (D) d_{i} ∩ s_{i} = { １点 } (E) d_{i} ∩ s_{j} = ∅ (i ≠ j) (F) d_{i} ∩ d_{j} = ∂d_{i} ∩ ∂d_{j} = p (i ≠ j)

補題 3.2.6 任意の M_{g}^{∗} の元 α に対し、ある Γ_{K} の元 ξ が存在して ρ_{K}(α) · e_{γ,0} = ξ · e_{γ,0} が成立する。さらに、 ρ_{K}(α) は {e_{γ,f}}_{f≠0} ではられるベクトル空間を不変にする。

証明 M_{g}^{∗} は以下の同相写像で生成されることが知られている（[31]pp120-123 参照）。

(1) Dehn twist α_{1}

(2) Twisting a knob ω_{1}

(3) Interchanging two knobs τ_{12}

(4) Cyclic translation of handles τ

(5) Spin and sliding θ_{12} and ξ_{12}

よって、それぞれについて順にチェックする。

(1) 定義より ρ_{K}(α_{1}) = ᾱ_{1} = T_{f(a_{1})}^{−1} となるから

ρ_{K}(α_{1})_{00} = exp(−2π\sqrt{−1}Δ_{0}) = 1 (mod Γ_{K})

(2) s_{1} に沿って切り取られたジーナスが 1 のハンドル体を K_{1} とする。明らかに h_{1}(D^{2} × I) ⊂ K_{1} である。 ∂t_{1} = s_{1} とし、 t_{1} と平行な t̃_{1} を Fig.23 のようにとる。 f : I × D^{2} ⟶ V を (A) f({0} × D^{2}) = t_{1} (B) f({1} × D^{2}) = t̃_{1} (C) f(I × D^{2}) ∩ ∂V = f(I × ∂D^{2}) の三条件を満たす埋め込みとする。 ω_{1} は K_{1} のノブを曲線 f(I × {0}) に沿って π だけ捩るひねりのことである。（ただし f({0} × D^{2}) = t_{1} は保存するものとする。）このとき、 Fig.24 より

a_{1} = d_{1}λ_{1}λ_{2}d_{1}^{−1} b_{1} = d_{1}λ_{1}β_{1}λ_{1}^{−1}d_{1}^{−1} s_{1} = μν^{−1}

と表すことができる。 ω_{1} は π 捩るひねりであるから

a_{1} ⟶ d_{1}μλ_{2}^{−1}λ_{1}^{−1}νd_{1}^{−1}
= d_{1}μd_{1}^{−1}d_{1}λ_{2}^{−1}λ_{1}^{−1}d_{1}^{−1}d_{1}νd_{1}^{−1}
= 1 · a_{1}^{−1}d_{1}νμ^{−1}d_{1}^{−1}d_{1}μd_{1}^{−1}
= a_{1}^{−1}s_{1}^{−1} · 1
= a_{1}^{−1}s_{1}^{−1}
b_{1} ⟶ d_{1}μλ_{2}^{−1}β_{1}^{−1}λ_{2}d_{1}^{−1}
= d_{1}μd_{1}^{−1}d_{1}λ_{2}^{−1}β_{1}^{−1}λ_{2}d_{1}^{−1}
= 1 · d_{1}λ_{2}^{−1}β_{1}^{−1}λ_{2}d_{1}^{−1}
= d_{1}λ_{2}^{−1}λ_{1}^{−1}d_{1}^{−1}d_{1}λ_{1}β_{1}^{−1}λ_{1}^{−1}d_{1}^{−1}d_{1}λ_{1}λ_{2}d_{1}^{−1}
= a_{1}^{−1}b_{1}^{−1}a_{1}

となる (in π_{1}(∂V, p))。（[13]pp193-195 参照）また、 s_{1} は ω_{1} では不変であるが、 Fig.25 より s_{1} = a_{1}^{−1}b_{1}^{−1}a_{1}b_{1} と表すことができる。 ω_{1} は π 捩るひねりで、交換作用素を２回作用させると

S(j)^{2} = (−1)^{j} exp(−π\sqrt{−1}Δ_{j}) · id （定義 3.1.2(1)）

となることから、

ρ_{K}(ω_{1}) = ρ_{K}(α_{1}β_{1}α_{1}^{2}β_{1}α_{1})

と表すことができる。よって

ρ_{K}(ω_{1})_{00} = exp(π\sqrt{−1}Δ_{0}) = 1 (mod Γ_{K})

となる。

Remark 同様にハンドル体 K_{i} を用いて ω_{i} が定義できる (1 ≤ i ≤ g)。

(3) ∂B^{3} 上の弧 e を、 s_{1} と s_{2} を結ぶもので

e ∩ (s_{1} ∪ ⋯ ∪ s_{n} ∪ d_{1} ∪ ⋯ ∪ d_{n}) = e ∩ (s_{1} ∪ s_{2}) = ∂e

が成立するものとする。 D を c_{1} ∪ e ∪ c_{2} の ∂B^{3} 上の正則近傍とする。 c_{1} ∪ e ∪ c_{2} を時計回りに π だけひねって

τ′_{12}(c_{1}) = c_{2} τ′_{12}(c_{2}) = c_{1}
τ′_{12}(e) = e τ′_{12}|_{∂D} = id

を満たす同相写像 τ′_{12} : D ⟶ D が得られる。 τ′_{12} は V からそれ自身への同相写像に自然に拡張できる。このとき、 K を K_{1} ∪ e ∪ K_{2} の V 内の正則近傍とすると

τ′_{12}(K_{1}) = K_{2} τ′_{12}(K_{2}) = K_{1} τ′_{12}|_{V −K} = id

となる。これを用いて

τ_{12} := ω_{2}ω_{1}τ′_{12}

とする（Fig.26 参照）。このとき Fig.26 より

a_{1} ⟶ s_{1}^{−1}a_{2}s_{1}
a_{2} ⟶ a_{1}
b_{1} ⟶ s_{1}^{−1}b_{2}s_{1}
b_{2} ⟶ b_{1}

となることが分かる (in π_{1}(∂V, p))。 ρ_{K}(τ_{12})_{00} を求めたいが、 ρ_{K}(ω_{1})_{00}, ρ_{K}(ω_{2})_{00} に関しては (2) の考察より 1 (mod Γ_{K}) となる。さらに補題 3.1.6 より

ρ_{K}(τ′_{12}) = ρ_{K}(δ_{2}β_{2}α_{2}β_{1}α_{1}^{2}β_{1}α_{2}β_{2}ϵ_{2})
= D_{b_{2}}^{−1} · P_{a_{2}c_{2}}

よって τ′_{12} に関しても

ρ_{K}(τ′_{12})_{00} = 1 (mod Γ_{K})

となるから

ρ_{K}(τ_{12})_{00} = 1 (mod Γ_{K})

となる。

Remark τ_{k,k+1}(interchanging k-th and (k+1)-th knobs) も同様に定義できる (1 ≤ k ≤ g)。ただし、 g + 1 番目のノブは 1 番目のノブとする。

(4) p を通る軸を回転軸とするような V 上の時計回りの\frac{2π}{g} の回転を τ とする。 τ ∈ H(V) である。さらに τ は基本群 π_{1}(∂V, p) 上の自己同型を誘導し

τ_{∗} : π_{1}(∂V, p) ⟶ π_{1}(∂V, p)
a_{i} ⟶ a_{i+1}
b_{i} ⟶ b_{i+1}

となる（1 ≤ i ≤ g, ただし a_{g+1} = a_{1}, b_{g+1} = b_{1} とする）。 τ は τ_{k,k+1}(1 ≤ k ≤ g − 1) たちで表されるので、 (3) より

ρ_{K}(τ)_{00} = 1 (mod Γ_{K})

となる。

(5) V^{i} を V から i 番目のハンドル h_{i}(D^{2} × I) を取り除いて得られるジーナスが (g − 1) のハンドル体とする。

h_{i}(D^{2} × {0}) = B_{i0} h_{i}(D^{2} × {1}) = B_{i1}

とし、 z_{i0}, z_{i1} をそれぞれ B_{i0}, B_{i1} の中心とする。さらに c を、 z_{i0} を通らず z_{i1} を通る ∂V^{i} 上の向きのついた任意の単純閉曲線とする（Fig.27 参照）。 N を c のシリンダー近傍とし、パラメータを (y, θ) (−1 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ θ < 2π) とする。ただし、閉曲線 c は y = 0、点 z_{i1} は (y, θ) = (0, 0) に対応するものとする。向きを保つ同相写像 σ̇_{cz_{i1}} : ∂V^{i} ⟶ ∂V^{i} を以下で定義する。

(i) N の点については

σ̇_{cz_{i1}}(y, θ) = \{ \begin{matrix}(y, θ + 2π(2y − 1)) & (\frac{1}{2} ≤ y ≤ 1) \\ (y, θ − 2π(2y + 1)) & (−1 ≤ y ≤ −\frac{1}{2}) \\ (y, θ) & (−\frac{1}{2} ≤ y ≤ \frac{1}{2}) \end{matrix}

(ii) ∂V^{i} − N の点については

σ̇_{cz_{i1}} = id

このとき、 σ̇_{cz_{i1}} を c についての z_{i1} のスピン (spin) という。これは自然に V^{i} からそれ自身への向きを保つ同相写像に拡張できる。（V^{i} − ∂V^{i} の点を全て固定すればよい。）この拡張した写像を σ_{cz_{i1}} で表し、これも c についての z_{i1} のスピンという。シリンダーの大きさを適当に変えることで

\{ \begin{matrix}B_{i1} ⊂ N & (−\frac{1}{2} ≤ y ≤ \frac{1}{2}) \\ B_{i0} ∩ N = ∅ \end{matrix}

としてよい。よって σ_{cz_{i1}} を σ_{cB_{i1}} ∈ H(V) （ただし σ_{cB_{i1}}|_{h_{i}(D^{2}×I)} = id）に拡張することができる。これを c についてのスライディング (sliding) という。なお、 z_{i1} を z_{i0}、 B_{i1} を B_{i0} に置き換えて同様に σ_{cz_{i0}}, σ_{cB_{i0}} を定義できることに注意しておく。 Fig.28 で

θ_{12} := σ_{l_{1}B_{11}} ∘ δ_{2}^{−1}
ξ_{12} := σ_{l_{2}B_{11}} ∘ δ_{2}^{−1}

とおく（[14]§2 参照）。 θ_{12} = α_{1}α_{2}^{−1} より (1) から

ρ_{K}(θ_{12})_{00} = 1

となる。一方、 ξ_{12} に関しては組みひも行列の定義より

ρ_{K}(ξ_{12})_{00} = 1

となることがわかる。 ■

これより、定理 3.2.4 は直ちに証明できる。定理 3.2.4 の証明仮定より φ ∈ M_{g}^{∗} であるから、補題 3.2.6 より結論を得る ■

次に、定理 3.2.5 の証明のために準備を行う。 M を Heegaard 分解 V_{1} ∪_{h} V_{2} で表される３次元多様体とし、 ∂V_{1} = ∂V_{2} のジーナスを g とする。また、 S^{3} の標準的な Heegaard 分解を S^{3} = D_{1} ∪_{τ} D_{2} で表す。

これらの Heegaard 分解の連結和を考えることで M#S^{3} の Heegaard 分解を考えることができる。この M#S^{3} の Heegaard 分解に対する接着写像を

h̃ : ∂V_{1}#∂D_{1} ⟶ ∂V_{2}#∂D_{2}

とする。このようにして連結和の Heegaard 分解を得る方法を基本安定化 (elementary stabilization) という。ここで ∂V_{1}#∂D_{1} = ∂V_{2}#∂D_{2} のジーナスは g + 1 となることに注意しておく。

補題 3.2.7 h, h̃ を上で考えた接着写像とする。このとき、

ρ_{K}(h̃)_{00} =\sqrt{\frac{2}{K + 2}} sin(\frac{π}{K + 2}) · ρ_{K}(h)_{00}

証明 ∂V_{1}#∂D_{2} のマーキングに対するグラフを γ̃ とする（Fig.29 参照）。 Z_{K}^{0}(γ̃) を f(b_{g}) = 0 となるような受容ウエイトについて {e_{γ̃,f}}_{f} ではられる Z_{K}(γ̃) の部分空間とする。 Z_{K}(Γ_{1} : b_{g} : 0) を Fig.29 の一つ穴トーラスに対して構成されるベクトル空間（ただし f(b_{g}) = 0）とすると、これは f(a_{g+1}) = 0, \frac{1}{2}, ⋯, \frac{K}{2} だけ基底がとれるので (K + 1) 次元ベクトル空間となる。すると、定義より

Z_{K}^{0}(γ̃) ≅ Z_{K}(γ) ⊗ Z_{K}(Γ_{1} : b_{g} : 0)

となる。よって ρ_{K}(h̃) の e_{γ̃,0} ∈ Z_{K}^{0}(γ̃) への作用は

ρ_{K}(h̃) · e_{γ̃,0} = ρ_{K}(h)_{00} · ρ_{K}(τ)_{00} · e_{γ̃,0} + ∑_{f≠0} ρ_{K}(h̃)_{f,0} · e_{γ̃,f}

となる。これより

ρ_{K}(h̃)_{00} = ρ_{K}(h)_{00} · ρ_{K}(τ)_{00}

が分かる。定義 3.1.2 とその直後の remark より

ρ_{K}(τ)_{00} = S_{K}(0)_{00} =\sqrt{\frac{2}{K + 2}} sin(\frac{π}{K + 2})

であるから結論は従う。 ■

これを基に定理 3.2.5 の証明を行う。定理 3.2.5 の証明 M_{1} = V_{1} ∪_{h} V_{2}, M_{2} = V′_{1} ∪_{h′} V′_{2} とする。仮定より、向きを保つ同相写像 φ : M_{1} ⟶ M_{2} が存在する。このとき Reidemeister-Singer の定理（[8] 参照）より、ある自然数 m, n が存在して M_{1}#m(S^{3}, τ) と M_{2}#n(S^{3}, τ) は同値な Heegaard 分解とできる。ただし、 (S^{3}, τ) は S^{3} の標準的な Heegaard 分解 D_{1} ∪_{τ} D_{2} とする。ここで必ずしも m = n とは限らないことに注意しておく。このとき、定理 3.2.4 と補題 3.2.7 より

S_{K}(0)_{00}^{m} · ρ_{K}(h)_{00} = S_{K}(0)_{00}^{n} · ρ_{K}(h′)_{00} in{C^{∗}/Γ_{K}} ∪ {0}

が成立することが分かる。これより、 ∂V_{1} のジーナスが g、 ∂V′_{1} のジーナスが g′ とすると g + m = g′ + n より S_{K}(0)_{00}^{g+m} = S_{K}(0)_{00}^{g′+n}。よって

S_{K}(0)_{00}^{−g} · ρ_{K}(h)_{00} = S_{K}(0)_{00}^{−g′} · ρ_{K}(h′)_{00} in{C^{∗}/Γ_{K}} ∪ {0}

が成立し、定義より左辺=ϕ_{K}(M_{1})、右辺=ϕ_{K}(M_{2}) である。 ■

定理 3.2.5 より、 ϕ_{K} は向きづけ可能な３次元閉多様体に対する位相不変量であることが分かる。簡単な３次元多様体については容易に ϕ_{K} の値を求めることができる。

補題 3.2.8

ϕ_{K}(S^{3}) = 1
ϕ_{K}(S^{2} × S^{1}) = (\sqrt{\frac{2}{K + 2}} sin(\frac{π}{K + 2}))^{−1}

証明 S^{3} = D_{1} ∪_{τ} D_{2} を標準的な Heegaard 分解とする。 ρ_{K}(τ)_{00} = S_{K}(0)_{00} より

ϕ_{K}(S^{3}) = S_{K}(0)_{00}^{−1} · S_{K}(0)_{00} = 1

また、 S^{2} × S^{1} = V_{1} ∪_{id} V_{2} （V_{1}, V_{2} はソリッドトーラス）であるから、

ϕ_{K}(S^{2} × S^{1}) = S_{K}(0)_{00}^{−1} = (\sqrt{\frac{2}{K + 2}} sin(\frac{π}{K + 2}))^{−1} ■

３次元多様体の連結和に関しては以下の命題が成立する。

命題 3.2.9

ϕ_{K}(M_{1}#M_{2}) = ϕ_{K}(M_{1}) · ϕ_{K}(M_{2}) (mod Γ_{K})

証明 M_{1}#M_{2} の Heegaard 分解を考える。 M_{1} の Heegaard 分解を V_{1} ∪_{h_{1}} Ṽ_{1}、 M_{2} の Heegaard 分解を V_{2} ∪_{h_{2}} Ṽ_{2} とする。 ∂V_{1} のマーキングに対するグラフを γ_{1}、 ∂V_{2} のマーキングに対するグラフを γ_{2} とすると、 ∂V_{1}#∂V_{2} のマーキングに対するグラフは γ = γ_{1} ∪ c ∪ γ_{2} と表すことができる（Fig.30 参照）。このとき、 f(c) = 0 となるような受容ウエイトに対して {e_{γ,f}} ではられるベクトル空間を Z_{K}^{0}(γ) とすると

Z_{K}^{0}(γ) ≅ Z_{K}(γ_{1}) ⊗ Z_{K}(γ_{2})

となる。よって Z_{K}(γ_{1}), Z_{K}(γ_{2}) は Z_{K}^{0}(γ) の部分空間と思える。 M_{1}#M_{2} の Heegaard 分解の接着写像を h : ∂V_{1}#∂V_{2} ⟶ ∂Ṽ_{1}#∂Ṽ_{2} とすると、

ρ_{K}(h)_{00} = ρ_{K}(h_{1})_{00} · ρ_{K}(h_{2})_{00} (mod Γ_{K})

M_{1} のジーナスを g_{1}、 M_{2} のジーナスを g_{2} とすると

ϕ_{K}(M_{1}#M_{2}) = S_{K}(0)_{00}^{−g_{1}−g_{2}} · ρ_{K}(h)_{00}
= S_{K}(0)_{00}^{−g_{1}} · ρ_{K}(h_{1})_{00} · S_{K}(0)_{00}^{−g_{2}} · ρ_{K}(h_{2})_{00}
= ϕ_{K}(M_{1}) · ϕ_{K}(M_{2}) (mod Γ_{K}) ■

3.3 Examples

K が十分小さいときは受容ウエイトがかなり限定されるため、 ρ_{K} を具体的に表示できる。以下では K = 1, 2 の場合を考える。

・ (i)K=1 の場合 Fig.31 のグラフを考える。このとき、受容ウエイト f : edge(γ) ⟶ \{0, \frac{1}{2}\}

は

f(b_{1}) = f(b_{2}) = ⋯ = (b_{g−1}) = 0
f(a_{n}) = f(c_{n}) (1 ≤ n ≤ g)

となる（ただし、 a_{1} = c_{1}, a_{n} = c_{n}）。

これは以下のように帰納法で示すことができる。定義より f(a_{1}) = f(c_{1}) で、 f(a_{1}) = 0, \frac{1}{2} いずれの場合でも定義 2.1.3 の条件 (2) より 2f(a_{1}) + f(b_{1}) ∈ Z であることから f(b_{1}) = 0 となる。 n ≤ l で成立を仮定し、 n = l + 1 のときを考えると、同様に f(a_{l+1}) + f(c_{l+1}) + f(b_{l}) ∈ Z であり、帰納法の仮定より f(b_{l}) = 0 であるから f(a_{l+1}) = f(c_{l+1}) = 0 または f(a_{l+1}) = f(c_{l+1}) = \frac{1}{2} となる。さらに f(a_{l+1}) + f(c_{l+1}) + f(b_{l+1}) ∈ Z より f(b_{l+1}) = 0 となる。

この結果から、 dimZ_{1}(γ) = 2^{g} が分かる。よって V を複素２次元ベクトル空間としたとき

Z_{1}(γ) = V ⊗ V ⊗ ⋯ ⊗ V = V^{⊗g}

と表すことができる。

このとき、

ρ_{1} : M_{g} ⟶ GL(V^{⊗g})/Γ_{1}

を具体的に決定する。まず、接続行列について

F [ \begin{matrix}j_{2} & j_{3} \\ j_{1} & j_{4} \end{matrix} ] = E(単位行列) (if j_{1}j_{2}j_{3}j_{4} = 0)

を注意しておく（上での帰納法の証明より分かる）。

T_{a} · e_{γ(μ),f} = exp(2π\sqrt{−1}(Δ_{f(a)} − \frac{1}{24})) · e_{γ(μ),f}

であるから、

f(a) = 0 のとき T_{a} = 1 (mod Γ_{1})

f(a) = \frac{1}{2}のとき T_{a} = i (mod Γ_{1})

となる。よって

S := S_{1}(0) =\frac{1}{\sqrt{2}} [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix} ] T := [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & i \end{matrix} ]

U := T ST =\frac{1}{\sqrt{2}} [ \begin{matrix}1 & i \\ 1 & 1 \end{matrix} ] W := T ⊗ T = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −i \end{matrix} ]

とすると、定義より

ρ_{1}(α_{1}) = T^{−1} ⊗ 1 ⊗ ⋯ ⊗ 1
ρ_{1}(α_{2}) = W_{12}, ⋯, ρ_{1}(α_{g}) = W_{g−1,g}

（ただし W_{k−1,k}(1 ≤ k ≤ g − 1) は V^{⊗g} の k 番目、 k + 1 番目の要素に T^{−1} を作用させる。）

ρ_{1}(δ_{2}) = 1 ⊗ T^{−1} ⊗ 1 ⊗ ⋯ ⊗ 1
ρ_{1}(β_{1}) = U_{1}, ⋯, ρ_{1}(β_{g}) = U_{g}

（ただし U_{j} は V^{⊗g} の j 番目の要素に U を作用させる。）

Remark

[35] より、ジーナスが g のリーマン面のグラフを γ としたとき

dim Z_{K}(γ) = ∑_{0≤j≤ \frac{K}{2}} (\sqrt{\frac{2}{K + 2}} sin(\frac{(2j + 1)}{K + 2}π))^{2−2g}

が成立することが知られている。

Remark ジーナス g の値が小さければ写像類群を決定できる（[31]pp120 参照）。

g = 0 のとき： M_{0} ≅ M_{0}^{∗} ≅ {0}
g = 1 のとき： M_{1} ≅ Sp(2, Z) = SL(2, Z) M_{1}^{∗} ≅ G

（ただし、 G は [ \begin{matrix}a & b \\ 0 & d \end{matrix} ] ∈ SL(2, Z) で生成される群で、 [ \begin{matrix}1 & −1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ]

の２つの元で生成される。）実は自由 Z-加群 π_{1}(Σ, p) ≅ H_{1}(Σ, Z) の自己同型として、 ω_{1}, α_{1} の表現行列

が [ \begin{matrix}1 & −1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ] である。

・ (ii)K=2 の場合

ジーナスが 2 の場合を考える。このとき受容ウエイトは、各辺に対し P_{2} = \{0, \frac{1}{2}, 1\} のいずれかの値をとる。

f(a) = 0 のとき T_{a} = exp(2π\sqrt{−1}(Δ_{0} − \frac{1}{16})) = 1 (mod Γ_{2})

f(a) = \frac{1}{2}のとき T_{a} = exp(2π\sqrt{−1}(Δ_{1} − \frac{1}{16})) = exp \frac{3}{8}π\sqrt{−1} (mod Γ_{2})

f(a) = 1 のとき T_{a} = exp(2π\sqrt{−1}(Δ_{2} − \frac{1}{16})) = −1 (mod Γ_{2})

よって、 K=1 の場合と同様に

x := exp(\frac{3}{8}π\sqrt{−1})

T := [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} ]

S := S_{2}(0) = \frac{1}{2} [ \begin{matrix}1 & \sqrt{2} & 1 \\ \sqrt{2} & 0 & −\sqrt{2} \\ 1 & −\sqrt{2} & 1 \end{matrix} ]

U := T ST = \frac{1}{2} [ \begin{matrix}1 & \sqrt{2}x & −1 \\ \sqrt{2}x & 0 & \sqrt{2}x \\ −1 & \sqrt{2}x & 1 \end{matrix} ]

と定義する。

ここで、 Z_{2}^{0}(γ) を f(b_{1}) = 0 となる {e_{γ,f}} ではられるベクトル空間とする（Fig.32 参照）。このとき、 f(a_{1}), f(a_{2}) の値を考えて、 V を３次元の複素ベクトル空間としたとき

Z_{2}^{0}(γ) ≅ V ⊗ V

となる。

f(b_{1}) ≠ 0 とする。 f(b_{1}) = \frac{1}{2} は定義 2.1.3 の (2) の条件より 2f(a_{1})+f(b_{1}) ∈ Z であることから不適。よって f(b_{1}) = 1 とする。定義 2.1.3 の (1),(3) の条件より、

2f(a_{1}) + f(b_{1}) ≤ 2 |f(a_{1}) − f(b_{1})| ≤ f(a_{1}) ≤ f(a_{1}) + f(b_{1})

を満たすのは f(a_{1}) = \frac{1}{2} のみ。同様に f(a_{2}) = \frac{1}{2} も分かる。つまり、 f(b_{1}) ≠ 0 とすると受容ウエイトは

f(a_{1}) = f(a_{2}) = \frac{1}{2} f(b_{1}) = 1

しかあり得ない。これに対応する基底を e とすると

Z_{2}(γ) ≅ (V ⊗ V) ⊕ Ce

となる。このとき、 ρ_{2} : M_{2} ⟶ GL(Z_{2}(γ))/Γ_{2} は

ρ_{2}(α_{1}) = (T^{−1} ⊗ 1) ⊕ x^{−1} ρ_{2}(δ_{2}) = (1 ⊗ T^{−1}) ⊕ x^{−1} ρ_{2}(β_{1}) = (U ⊗ 1) ⊕ 1 ρ_{2}(β_{2}) = (1 ⊗ U) ⊕ 1

ρ_{2}(α_{2}) = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & x & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & x \end{matrix} ]

で決定される（Fig.33 参照）。

第4章{位相的場の理論と共形場 \atop 理論}

この章では、第３章で共形場理論のホロノミーの立場から構成された位相不変量 ϕ_{K}(M) と Witten 不変量 Z_{K}(M) の関連について考える。まず第１節では Witten 不変量の経路積分による表示を復習する。次に第２節では Atiyah の意味の位相的場の理論についてまとめ、位相的場の理論と共形場理論の関連について述べた。さらに、 Witten 不変量から 2+1 次元の位相的場の理論を展開し、共形場理論との関連に触れ、具体的に Witten 不変量と写像類群の表現の間の関係式を表す。これは公理的に扱われる関係式で Witten 不変量が存在する（経路積分が存在する）ときには必然的に従わなければならない、という式である。

4.1 Witten 不変量の経路積分による表示

この節では向きづけ可能なコンパクト３次元多様体に対して定義される Witten 不変量の経路積分による表示について述べる。

M を向きづけ可能なコンパクト３次元多様体、 G をリー群 SU(2) とする。 P を M 上の主 G-束とすると、 G が単連結であることから P は位相的には M 上の自明な G-束となる。

P の接続全体の空間を A とする。 P のゲージ群 G = Map(M, G) の P への作用を

g^{∗}A = g^{−1}Ag + g^{−1} · dg (A ∈ A, g ∈ G)

で定義する。

定義 4.1.1 各 A ∈ A に対し

L(A) := \frac{1}{4π} ∫_{M} T r(A ∧ dA + \frac{2}{3}A ∧ A ∧ A)
CS(A) := \frac{1}{2π} · L(A)

とする。このとき、 L を Chern-Simons Lagrangian、 CS を Chern-Simons 汎関数という。命題 4.1.2 CS : A ⟶ R に対し、 CS の臨界点は平坦接続である。

証明 A_{t} := A + ta (A, a ∈ A) とおく。

CS(A + ta) = CS(A) + \frac{t}{4π^{2}} ∫_{M} T r((dA + A ∧ A) ∧ a) + o(t^{2})

となるから、 CS の臨界点は dA + A ∧ A = 0 となる接続 A、すなわち平坦接続である。 ■

命題 4.1.3 （[21]pp95 参照）

CS(g^{∗}A) = CS(A) + \frac{1}{8π^{2}} ∫_{∂M} T r(A ∧ dg · g^{−1}) − ∫_{M} g^{∗}σ

（ただし、σ := \frac{1}{24π^{2}} T r(X^{−1}dX ∧ X^{−1}dX ∧ X^{−1}dX) X ∈ G,

つまり、 X^{−1}dX はリー環 𝔰𝔲(2) に値をとる SU(2) 上の１次微分形式。）□

よって命題 4.1.3 より、 ∂M = ∅ のときは

CS(g^{∗}A) = CS(A) − ∫_{M} g^{∗}σ

となり、右辺の積分 ∫_{M} g^{∗}σ は g : M ⟶ G の写像度となる。つまり ∫_{M} g^{∗}σ は整数値をとる。これより、 CS は A/G ⟶ R/Z を誘導することが分かる。

以上の準備を基に Witten 不変量を定義する。 Witten による３次元多様体の位相不変量は、経路積分を用いて形式的には

Z_{K}(M) = ∫_{A/G} exp(2π\sqrt{−1} · K · CS(A)) · DA
= ∫_{A/G} exp(\sqrt{−1} · K · L(A)) · DA

と表される（[38]pp356 参照）。

4.2 Atiyah の意味の位相的場の理論と共形場理論

まず、位相的場の理論（Topological Quantum Field Theory）について述べる。これに関しては多くの論文が存在するが（[9],[12],[29],[37] など）、ここでは Atiyah の意味の 2+1 次元の位相的場の理論についてまとめる。

定義 4.2.1 （Atiyah の公理系 [3]chap.2）以下の性質を持つ関手 Z を 2+1 次元の位相的場の理論という。

(i) コンパクトで向きづけ可能な曲面 Σ （ただし ∂Σ = ∅）に対して、有限次元複素線形空間 Z_{Σ} が対応する。 (ii) コンパクトで向きづけ可能な３次元多様体 M で ∂M = Σ となるものに対して、ベクトル Z(M) ∈ Z_{Σ} が定まる。さらに、 Z は以下の５つの性質 (1)〜(5) を満たすものとする。 (1)Σ の向きを反対にした曲面を −Σ で表すと

Z_{−Σ} = Z_{Σ}^{∗}

が成立する。右辺は C 上の線形空間としての双対空間とする。

(2) 和集合 Σ_{1} ∪ Σ_{2} （ただし Σ_{1} ∩ Σ_{2} = ∅）について

Z_{Σ_{1}∪Σ_{2}} = Z_{Σ_{1}} ⊗ Z_{Σ_{2}}

が成立する。

(1),(2) より、 ∂M = (−Σ_{1}) ∪ Σ_{2} （ただし −Σ_{1} ∩ Σ_{2} = ∅）をみたすコンパクトで向きづけ可能な３次元多様体 M に対して、線形写像 Z(M) ∈ Hom_{C}(Z_{Σ_{1}}, Z_{Σ_{2}}) が定まる。このような M を Σ_{1} と Σ_{2} の間のコボルディズム（cobordism）という。

(3) コボルディズムの合成 ∂M_{1} = (−Σ_{1})∪Σ_{2}、 ∂M_{2} = (−Σ_{2})∪Σ_{3} に対して、

Z(M_{1} ∪ M_{2}) = Z(M_{2}) ∘ Z(M_{1})

が成立する。 (4)Z(∅) = C

(5) 単位区間 I = [0, 1] に対して、 Z(Σ × I) は Z_{Σ} の線形変換として恒等写像である。

つまり、 2+1 次元の位相的場の理論とは、曲面 Σ を対象、その間のコボルディズムを射とする圏から、複素線形空間を対象、その間の線形写像を射とする圏への関手である。

Remark この Atiyah の公理はあくまで大まかな枠組みであって、実際の理論においては幾つかの修正を必要とする。

位相的場の理論については、実は次のことが知られている。

定理 4.2.2 （[12]Cor.2）位相的場の理論は、第３章で定義された行列 T, S ∈ End(Z_{K}(γ)) と、組みひも行列によりユニークに決定される。つまり、 T, S, 組みひも行列を定義することと、定義 4.2.1 は同値である。 □

定理 4.2.2 より、第３章で定義した写像類群の表現

ρ_{K} : M_{g} ⟶ GL(Z_{K}(γ))/Γ_{K}

は位相的場の理論を決定する。つまりこの観点から、共形場理論によって Atiyah の意味の位相的場の理論が与えられることがわかる。

次に、第３章で定義された共形場理論のホロノミーの立場から構成された位相不変量 ϕ_{K}(M) と、 Chern-Simons 汎関数を用いて提唱された Witten 不変量 Z_{K}(M) の関連をまとめる。

まず、無限次元の対象から有限の不変量を抽出することに注目し、 Witten 不変量から 2+1 次元の位相的場の理論を展開する。

以下ではリー群 G = SU(2) とする。任意のリーマン面 Σ に対し、 Σ 上の平坦 G− 接続のモジュライ空間を M_{Σ} とする。 M_{Σ} は Σ の基本群 π_{1}(Σ) の G への表現の同値類の空間 Hom(π_{1}(Σ), G)/G と同一視できる。さらに、次のことが知られている。

定理 4.2.3 （[26]） M_{Σ} は次元が 0、ランクが 2 の Σ 上の半安定な正則線束（holomorphic line bundle）のモジュライ空間と同一視できる。 □

M_{Σ} 上の determinant line bundle （[28]pp31 参照）を L とする。任意の自然数 K ∈ N に対し、 M_{Σ} 上の複素線束 L^{⊗K} の正則切断全体の空間 H^{0}(M_{Σ}, L^{⊗K}) を考える。

定理 4.2.4 （[4]Th.8.5） H^{0}(M_{Σ}, L^{⊗K}) は Σ の共形ブロックの空間（ただしレベルを K とする）と同型になる。 □

系 4.2.5 （Verlinde の次元公式 [4]Cor.8.6） Σ のジーナスを g としたとき

dim H^{0}(M_{Σ}, L^{⊗K}) = (\frac{2}{K + 2})^{g} · ∑_{S⊂[1,K+2],|S|=2} ∏_{s∈S,t∉S} |2 sin π \frac{s − t}{K + 2}|^{g−1}□

定理 4.2.4、系 4.2.5 より、 H^{0}(M_{Σ}, L^{⊗K}) が有限次元になる点がキーである。 Remark 実は H^{0}(M_{Σ}, L^{⊗K}) は複素線形空間としては Atiyah の公理の Z_{Σ} と同型になることが知られている。

次に Z_{K}(M) の性質に注目する。 ∂M = Σ とし、 Σ 上の主 SU(2)-束を Q とする。 Q の接続全体の空間を A_{Σ}、 Q のゲージ群を G_{Σ} = Map(Σ, SU(2)) とする。 a ∈ A_{Σ}, g ∈ G_{Σ} に対し、 a の M への拡張を A、 g の M への滑らかな写像としての拡張を g̃ : M → SU(2) として、

c(a, g) = exp(2πi(CS(g̃^{∗}A) − CS(A)))

とする。具体的には命題 4.1.3 より

c(a, g) = exp(2πi(∫_{Σ} \frac{1}{8π^{2}} T r(g^{−1}ag ∧ g^{−1}dg) − ∫_{M} g̃^{∗}σ))

となる。 a ∈ A_{Σ} に対し

L_{Σ,a} := {f : G_{Σ} → C|f(e · g) = c(a, g) · f(e) ∀g ∈ G_{Σ}}

と定義する（e は単位元）。 L_{Σ,a} は１次元複素線形空間であり、エルミート内積を

(f, f′) = ∫_{G_{Σ}} \overline{f(g)}f′(g)dg

とする。

命題 4.2.6 M 上の Chern-Simons 汎関数に対するゲージ群の作用について、 M 上の接続 A の ∂M = Σ への制限 a と、 g ∈ Map(M, G) の Σ への制限 g|_{Σ} を用いて、

exp(2π\sqrt{−1}CS(g^{∗}A)) = c(a, g|_{Σ}) · exp(2π\sqrt{−1}CS(A))

が成立する。

証明 ∂M = Σ ≠ ∅ より、 M から G = SU(2) への写像は 0 ホモトピックである。 g(t) を g(0) = e , g(1) = g となるようにとる。 g(t) を M × [0, 1] 上のゲージ変換とみなしたものを g_{M} と表す。 g_{M} の Σ × [0, 1] への制限を g_{M}|_{Σ} とする。 A を M × [0, 1] 上の接続とみなして g_{M}^{∗}A を考えると、曲率のゲージ変換不変性より C^{2}(g_{M}^{∗}A) = g_{M}C^{2}(A)g_{M}^{−1} である（C^{2} は第２チャーン類）。ところが A は [0, 1] 方向の成分を持たないから、微分２形式として C^{2}(A) = 0 である。よって、 d\{\frac{1}{8π^{2}} T r(A ∧ dA + \frac{2}{3}A ∧ A ∧ A)\} = C^{2}(A) と Stokes の定理により

CS(g^{∗}A) − CS(A) − ∫_{Σ×[0,1]} \frac{1}{8π^{2}} T r(g_{M}|_{Σ}^{∗}a) + ∫_{M×[0,1]} g^{∗}σ

= ∫_{M×[0,1]} C^{2}(g_{M}^{∗}A) = 0

となり、 c(g, a) の定義から命題の式が得られる。 ■

この命題より、 ∂M = Σ のときの M 上の接続 A に対し、 A の Σ への制限を a とするとき、 exp(2π\sqrt{−1}CS(A)) は L_{Σ,a} の要素と自然に考えることができる。また、 Σ の向きを反対にしたものを −Σ とすると L_{−Σ,a} ≅ \overline{L_{Σ,a}} が成立している。

よって、 Heegaard 分解 M = V_{1} ∪ V_{2} , ∂V_{1} = Σ , ∂V_{2} = −Σ に対し、 M 上の SU(2) 接続 A を V_{1} , V_{2} に制限したものを A_{1} , A_{2} とすると、 A の Σ への制限を a について

exp(2π\sqrt{−1}CS_{M_{1}}(A_{1})) ∈ L_{Σ,a}
exp(2π\sqrt{−1}CS_{M_{2}}(A_{2})) ∈ \overline{L_{Σ,a}}

となる。自然なペアリング

<, >: L_{Σ,a} × L_{−Σ,a} ⟶ C

を用いて、

exp(2π\sqrt{−1}CS_{M}(A)) =< exp(2π\sqrt{−1}CS_{M_{1}}(A_{1})), exp(2π\sqrt{−1}CS_{M_{2}}(A_{2})) >

と表すことができる。

exp(2π\sqrt{−1}K · CS(A)) に対し、 Σ に制限すると α になるような M 上の SU(2) 接続全体の空間を A_{α} と書いて、形式的に

Z_{K}(M)(α) = ∫_{A_{α}} exp(2π\sqrt{−1}K · CS(A))DA

とおくと、命題 4.2.6 より

exp(2π\sqrt{−1}K · CS(g^{∗}A)) = c(α, g)^{K} · exp(2π\sqrt{−1}K · CS(A))

となるから、 Z_{K}(M) は複素線束 L^{⊗K} の切断を定めると考えられる。

よって、定理 4.2.4 より Z_{K}(M) は Σ の共形ブロックの空間の元と思える。つまり、 M をリーマン面を境界とする２つの多様体に分解することにより、 Z_{K}(M) を接着写像の共形ブロックの空間への作用、すなわち写像類群の表現 ρ_{K} を用いて記述することができる。

そこで、 M を Heegaard 分解を用いて M = V_{g} ∪_{h} (−V_{g}) と表すことができるコンパクトで向きづけ可能な３次元多様体とする（ただし V_{g} はジーナスが g のハンドル体で、 ∂M = ∅ とする）。 ∂V_{g} のパンツ分解からグラフ γ を構成し、受容ウエイト f : edge(γ) → P_{K} に対し、 e_{γ,0} を全ての受容ウエイト f ≡ 0 に対応する Z_{K}(γ) の基底とする。補題 3.2.6 より、 e_{γ,0} は ρ_{K}(M_{g}^{∗})− 不変なベクトルである。

このとき、以下の命題が成立する。

命題 4.2.7 （[12]pp407,[21]pp90）

Z_{K}(M) = (\sqrt{\frac{2}{K + 2}} sin(\frac{π}{K + 2}))^{−g+1}ρ_{K}(h)_{00}
= \sqrt{\frac{2}{K + 2}} sin(\frac{π}{K + 2})ϕ_{K}(M)

Remark 命題 4.2.7 は経路積分 ∫ exp(2π\sqrt{−1}K · CS(A))DA が存在するときに成立する式である。逆に言うと、経路積分が存在すればこうならないとつじつまが合わない、という式である。

第5章レンズ空間、 Seifert多様体 のWitten不変量の計算

この章では、いくつかの Seifert 多様体の Witten 不変量を計算する。まず第１節で Seifert 多様体の Witten 不変量を求める式を与えた。ここで

は Seifert 多様体の Witten 不変量を求めるために、位相的場の理論の枠組みから与えられる連結和公式 (connected sum formula) ([38]pp374-396 参照) を用いた。第２節ではその式に従い、 Seifert 多様体の一つであるレンズ空間 L(p, ±1), L(p, ±2) の Witten 不変量を与える式を求めた。第３節では第２節と同様に、連結和公式を用いて Poincaré homology 3-sphere Σ の Witten 不変量の値を求めた。

また、これらの Witten 不変量の値から、第４章の命題 4.2.7 を用いて ϕ_{3}(L(7, 1)) ≠ ϕ_{3}(L(7, 2)) が成立することを示した。これに関しては [30] の中で、同じ結果が別方法で示されている。つまり ϕ_{3} はホモトピー不変量ではないことが分かる。

さらに [6] より、 Seifert 多様体の一つである Poincaré homology 3-sphere Σ については、接着写像が

β_{1}β_{2}^{−1}α_{1}^{−1}α_{2}^{3}δ_{2}^{5}β_{2}β_{1}^{−1}

となることが知られており、これを基にして ϕ_{3}(Σ) ≠ ϕ_{3}(S^{3}) が分かる。この章では、 Witten 不変量の値から第４章の命題 4.2.7 を用いて具体的に ϕ_{K} の値を計算するという方法で ϕ_{3}(Σ) ≠ ϕ_{3}(S^{3}) を示した。

5.1 Seifert 多様体の Witten 不変量

まず、 Seifert 多様体の定義を復習する。

定義 5.1.1(Seifert 多様体)([27] 参照) S^{2}×S^{1} から n 個の互いに交わらないソリッドトーラス D_{i}×S^{1}(i = 1, ⋯,n) を取り除く。各境界 ∂D_{i}×S^{1} を SL(2,Z) の元 N_{i} でひねり、再び境界を貼り合わせてできる３次元多様体を Seifert 多様体という。このとき、 N_{i} の第一列

が [ \begin{matrix}p_{i} \\ q_{i} \end{matrix} ] であるならば N_{i} = N(p_{i}, q_{i}) と表し、各 N_{i} によってできた Seifert 多様体を

M(\frac{p_{1}}{q_{1}} , ⋯, \frac{p_{n}}{q_{n}})

で表すとする。

以下では計算の簡略のため第３章と記号を少し変更する。 SL(2,Z) の基底

T = [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] , S = [ \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ]

に対し、写像類群の表現を

T̄_{β}^{α} = exp(2π\sqrt{− 1}(h_{α} − \frac{c}{24})) · δ_{β}^{α}

S̄_{β}^{α} =\sqrt{\frac{2}{K + 2}} sin(\frac{αβπ}{K + 2})

(α, β = 1, ⋯, K + 1) とする。ここで K は第２章で定義したレベルで

h_{α} = \frac{α^{2} − 1}{4(K + 2)}, c = \frac{3K}{K + 2}, δ_{β}^{α} = \{ \begin{matrix}1 & (α = β) \\ 0 & (α ≠ β) \end{matrix}

とする。

ここで、 Seifert 多様体の Witten 不変量を求めるために連結和公式 (connected sum formula) を導入する。

定義 5.1.2(連結和公式)([38]pp374-396 参照) 位相的場の理論の枠組みのコボルディズムの合成（定義 4.2.1(3)）より、３次元多様体の連結和の Witten 不変量について

Z_{K}(M_{1}#M_{2}) · Z_{K}(S^{3}) = Z_{K}(M_{1}) · Z_{K}(M_{2})

が成立する。これを繰り返し用いることで、 Seifert 多様体

M(\frac{p_{1}}{q_{1}} , ⋯, \frac{p_{n}}{q_{n}})

の Witten 不変量は

Z_{K}(M(\frac{p_{1}}{q_{1}} , ⋯, \frac{p_{n}}{q_{n}})) = ∑_{α_{1},···,α_{n},β}(N̄_{1})_{1}^{α_{1}} ⋯ (N̄_{n})_{1}^{α_{n}} \frac{S̄_{β}^{α_{1}} ⋯ S̄_{β}^{α_{n}}}{(S̄_{β}^{1})^{n−2}}

となる。ここで (N̄_{i})_{1}^{α_{i}} は行列 N̄_{i} の (α_{i}, 1) 成分とする。

レンズ空間は Seifert 多様体の１つであり

L(p, q) = M(\frac{q}{p})

となるから、 Witten 不変量は

Z_{K}(L(p, q)) = (N̄(\frac{q}{p}))_{1}^{1}

となる。以下ではこの式を基にして Witten 不変量を計算する。

5.2 レンズ空間 L(p, ±1), L(p, ±2)

レンズ空間の Witten 不変量の計算の前に、まず表現行列の分解を考える ([27] 参照)。

N_{i} = [ \begin{matrix}p_{i} & r_{i} \\ q_{i} & s_{i} \end{matrix} ] ∈ SL(2, Z)

とする。\frac{p_{i}}{q_{i}} が連分数で

\frac{p_{i}}{q_{i}} = a_{1} − \frac{1}{a_{2} − _{\frac{1}{^{...}− \frac{1}{a_{l}}}}} (a_{i} ∈ Z)

と表されたとする。このとき

N_{i} = [ \begin{matrix}a_{1} & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}a_{2} & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] ⋯ [ \begin{matrix}a_{l} & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ]

と表すことができる。前節で定義した行列 T, S を用いて

[ \begin{matrix}a_{i} & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] = T^{a_{i}}S

となるから、表現行列は

N̄_{i} = T̄^{a_{i}} S̄

となる。

これを用いてレンズ空間の Witten 不変量を計算する。しかし一般のレンズ空間においては連分数を決定できないので、ここでは L(p, ±1), L(p, ±2) について考える L(p, ±1) = M(±\frac{1}{p}),L(p, ±2) = M(±\frac{2}{p}) であり、 ±\frac{1}{p}, ±\frac{2}{p} は連分数でそれぞれ

±\frac{1}{p} = 0 − \frac{1}{∓p}

±\frac{2}{p} = 0 − \frac{1}{∓\frac{p+1}{2} − \frac{1}{∓2}}

(複号同順) となるから、 L(p, ±1) の Witten 不変量は S̄T̄^{∓p}S̄ の (1,1) 成分、 L(p, ±2) の Witten 不変量は S̄T̄^{∓ \frac{p+1}{2}} S̄T̄^{∓2}S̄ の (1,1) 成分となる。これを計算すると

Z_{K}(L(p, ±1)) = \frac{2}{K + 2} ∑_{α=1}^{K+1} sin^{2}(\frac{απ}{K + 2})e^{2πi( \frac{α^{2}−1}{4(K+2)} )(∓p)} (mod Γ_{K})

Z_{K}(L(p, ±2)) = (\frac{2}{K + 2})^{\frac{3}{2}} ∑_{β=1}^{K+1} ∑_{α=1}^{K+1} sin(\frac{απ}{K + 2}) sin(\frac{βπ}{K + 2}) sin(\frac{αβπ}{K + 2})

×e^{∓(p+1)πi·h_{α}}e^{∓4πi·h_{β}} (mod Γ_{K})

となる。実際に L(7, 1),L(7, 2) で計算すると

Z_{1}(L(7, 1)) = \frac{2}{3} ∑_{α=1}^{2} sin^{2}(\frac{απ}{3} )e^{2πi( \frac{α^{2}−1}{12} )(−7)}
= \frac{1}{2}(1 + i)
= \frac{\sqrt{2}}{2} (mod Γ_{1})

Z_{1}(L(7, 2)) = (\frac{2}{3})^{\frac{3}{2}} ∑_{β=1}^{2} ∑_{α=1}^{2} sin(\frac{απ}{3} ) sin(\frac{βπ}{3} ) sin(\frac{αβπ}{3} )e^{−8πi·h_{α}}e^{−4πi·h_{β}}
= \frac{\sqrt{2}}{2} (mod Γ_{1})

Z_{2}(L(7, 1)) = \frac{1}{2} ∑_{α=1}^{3} sin^{2}(\frac{απ}{4} )e^{2πi( \frac{α^{2}−1}{16} )(−7)}
= \frac{1}{2}e^{− \frac{5}{8} πi}
= \frac{1}{2} (mod Γ_{2})

Z_{2}(L(7, 2)) = (\frac{1}{2})^{\frac{3}{2}} ∑_{β=1}^{3} ∑_{α=1}^{3} sin(\frac{απ}{4} ) sin(\frac{βπ}{4} ) sin(\frac{αβπ}{4} )e^{−8πi·h_{α}}e^{−4πi·h_{β}}
= \frac{1}{2} (mod Γ_{2})

Z_{3}(L(7, 1)) = \frac{2}{5}\{A^{2}(1 − i) + B^{2}(e^{− \frac{1}{10} πi} + e^{\frac{2}{5} πi})\} (mod Γ_{3})

Z_{3}(L(7, 2)) = \frac{4\sqrt{1}0}{25}A\{A^{2} + B^{2}(2e^{− \frac{6}{5} πi} − e^{− \frac{4}{5} πi})\} (mod Γ_{3})

(ただし A = sin \frac{1}{5}π = sin \frac{4}{5}π,B = sin \frac{2}{5}π = sin \frac{3}{5}π とする)

よって K = 1, 2 では Z_{K}(L(7, 1)) = Z_{K}(L(7, 2)) であるが、 K = 3 のときは Z_{3}(L(7, 1)) ≠ Z_{3}(L(7, 2)) となる。これより、命題 4.2.7 から ϕ_{K} についても

ϕ_{K}(L(7, 1)) = ϕ_{K}(L(7, 2)) = 1 (K = 1, 2)
ϕ_{3}(L(7, 1)) ≠ ϕ_{3}(L(7, 2))

となる。

Remark レンズ空間の Witten 不変量についてはもう少し一般化された結果が [39]pp326 にある。 [39] ではデデキント和、ルジャンドル記号を用いてレンズ空間の Witten 不変量を表している。

5.3 Poincaré homology 3-sphere Σ

Poincaré homology 3-sphere Σ は Seifert 多様体の一つで、

Σ = M(−2, 3, 5)

と表すことができる。レベル K=1,2,3 において

Z_{K}(Σ) = ∑_{α_{1},α_{2},α_{3},β}(N̄_{1})_{1}^{α_{1}}(N̄_{2})_{1}^{α_{2}}(N̄_{3})_{1}^{α_{3}} \frac{S̄_{β}^{α_{1}} S̄_{β}^{α_{2}} S̄_{β}^{α_{3}}}{S̄_{β}^{1}}

を計算する。補題 3.2.8 より、 S^{3} に関しては K の値に関わらず ϕ_{K}(S^{3})=1 であった。これと比較する。

・ K = 1 の場合

T̄ = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & i \end{matrix} ] , S̄ =\frac{1}{\sqrt{2}} [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix} ]

であるから、

N̄_{1} = T̄^{−2}S̄ =\frac{1}{\sqrt{2}} [ \begin{matrix}1 & 1 \\ −1 & 1 \end{matrix} ]

N̄_{2} = T̄^{3}S̄ =\frac{1}{\sqrt{2}} [ \begin{matrix}1 & 1 \\ −i & i \end{matrix} ]

N̄_{3} = T̄^{5}S̄ =\frac{1}{\sqrt{2}} [ \begin{matrix}1 & 1 \\ i & −i \end{matrix} ]

となる。よって Witten 不変量は

Z_{1}(Σ) =\frac{\sqrt{2}}{2} (mod Γ_{1})

となるから、

ϕ_{1}(Σ) = 1 (mod Γ_{1})

となる。・ K = 2 の場合 x := exp(\frac{3}{8}π\sqrt{−}1) としたとき

T̄ = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} ] , S̄ = \frac{1}{2} [ \begin{matrix}1 & \sqrt{2} & 1 \\ \sqrt{2} & 0 & −\sqrt{2} \\ 1 & −\sqrt{2} & 1 \end{matrix} ]

であるから、

N̄_{1} = T̄^{−2}S̄ = \frac{1}{2} [ \begin{matrix}1 & \sqrt{2} & 1 \\ \sqrt{2}x^{−2} & 0 & −\sqrt{2}x^{−2} \\ 1 & −\sqrt{2} & 1 \end{matrix} ]

N̄_{2} = T̄^{3}S̄ = \frac{1}{2} [ \begin{matrix}1 & \sqrt{2} & 1 \\ \sqrt{2}x^{3} & 0 & −\sqrt{2}x^{3} \\ −1 & \sqrt{2} & −1 \end{matrix} ]

N̄_{3} = T̄^{5}S̄ =\frac{1}{\sqrt{2}} [ \begin{matrix}1 & \sqrt{2} & 1 \\ \sqrt{2}x^{5} & 0 & −\sqrt{2}x^{5} \\ −1 & \sqrt{2} & −1 \end{matrix} ]

となる。よって Witten 不変量は

Z_{2}(Σ) = \frac{1}{2} (mod Γ_{2})

となるから、

ϕ_{2}(Σ) = 1 (mod Γ_{2})

となる。・ K = 3 の場合

x := exp(\frac{3}{10}π\sqrt{−}1), y := exp(\frac{4}{5}π\sqrt{−}1), A := sin \frac{1}{5}π = sin \frac{4}{5}π, B := sin \frac{2}{5}π = sin \frac{3}{5}π としたとき

T̄ = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −i \end{matrix} ] , S̄ =\sqrt{\frac{2}{5}} [ \begin{matrix}A & B & B & A \\ B & A & −A & −B \\ B & −A & −A & B \\ A & −B & B & −A \end{matrix} ]

であるから、

N̄_{1} = T̄^{−2}S̄ =\sqrt{\frac{2}{5}} [ \begin{matrix}A & B & B & A \\ x^{−2}B & x^{−2}A & −x^{−2}A & −x^{−2}B \\ y^{−2}B & −y^{−2}A & −y^{−2}A & y^{−2}B \\ −A & B & −B & A \end{matrix} ]

N̄_{2} = T̄^{3}S̄ =\sqrt{\frac{2}{5}} [ \begin{matrix}A & B & B & A \\ x^{3}B & x^{3}A & −x^{3}A & −x^{3}B \\ y^{3}B & −y^{3}A & −y^{3}A & y^{3}B \\ iA & −iB & iB & −iA \end{matrix} ]

N̄_{3} = T̄^{5}S̄ =\sqrt{\frac{2}{5}} [ \begin{matrix}A & B & B & A \\ −iB & −iA & iA & iB \\ B & −A & −A & B \\ −iA & iB & −iB & iA \end{matrix} ]

となる。よって Witten 不変量は

Z_{3}(Σ) = \frac{2\sqrt{10}}{25}(\frac{15 − 15\sqrt{5}}{32A} + i\frac{10 + 5\sqrt{5}}{8}) (mod Γ_{3})

となるから、

ϕ_{3}(Σ) = \frac{2}{5}A^{−1}(\frac{15 − 15\sqrt{5}}{32A} + i\frac{10 + 5\sqrt{5}}{8}) ≠ 1 (mod Γ_{3})

となる。つまり ϕ_{3}(Σ) ≠ ϕ_{3}(S^{3}) である。

第6章 Appendix A:摂動理論によ るWitten不変量へのアプ ローチ

この章では、摂動理論の観点から捉えた３次元多様体の Witten 不変量についてまとめた。第１節では古典的な漸近展開を復習し、 Feynman ダイアグラムによる漸近展開を考える。第２節では Chern-Simons 汎関数の臨界点のまわりでの挙動を調べ、 Hessian と Ray-Singer トーションの関係に触れた後、 Z_{K}(M) の K → ∞ における漸近展開の主要項の形を表す。この章は主に [15],[21] を参考にした。

6.1 経路積分の考察と漸近展開

一般には Witten 不変量を求めることは困難であり、経路積分の値が存在するかどうかも不明である。そこで、 Witten 不変量 Z_{K}(M) の K → ∞ における漸近展開の主要項のかたちを考える。詳しくは次の節で表示するが、この節では古典的な漸近展開の復習を行う。

まずは Gauss 積分

∫_{−∞}^{∞} e^{−μx^{2}}dx =\sqrt{\frac{π}{μ}} (μ > 0)

から出発する。これを解析接続して

∫_{−∞}^{∞} e^{iλx^{2}}dx =\sqrt{\frac{π}{|λ|}}e^{\frac{πi}{4} sgnλ} (λ ∈ R)

もっと一般に、 Q を x_{1}, ⋯, x_{n} を変数とする非退化２次形式とし、 Q の符号を sgnQ で表すと

∫_{R^{n}} e^{iQ(x_{1},···,x_{n})}dx_{1} ⋯ dx_{n} =\frac{π^{\frac{n}{2}}}{\sqrt{| det Q|}}e^{\frac{πi}{4} sgnQ}

となる。次に実数値関数 f について

∫_{R^{n}} e^{iKf(x_{1},···,x_{n})}dx_{1} ⋯ dx_{n}

の K → ∞ における漸近挙動を記述する。簡単のため f の臨界点は有限個で全て非退化な R^{n} の点とする。まず一変数の場合

g(K) := ∫_{−∞}^{∞} e^{iKf(x)}dx

を考える。 f(x) の臨界点以外では K → ∞ における積分への寄与は互いに打ち消し合うので、臨界点からの寄与を計算する。

計算を容易にするため、 f(x) はただ一つの臨界点 x_{0} を持ち、 f′′(x_{0}) > 0 とする。このとき、 f(x) − f(x_{0}) = u^{2} と変数変換すると

g(K) ∼ ∫_{x_{0}−ϵ}^{x_{0}+ϵ} e^{iKf(x)}dx = ∫_{u_{1}}^{u_{2}} e^{iK(f(x_{0})+u^{2})} \frac{2u}{f′(x)}du

と表される。ロピタルの定理より

lim_{x→x_{0}} \frac{4u^{2}}{\{f′(x)\}^{2}} = lim_{x→x_{0}} \frac{4\{f(x) − f(x_{0})\}}{\{f′(x)\}^{2}} = lim_{x→x_{0}} \frac{4f′(x)}{2f′(x)f′′(x)} = lim_{x→x_{0}} \frac{2}{f′′(x)}

となるから、 lim_{x→x_{0}} \frac{2u}{f′(x)} =\sqrt{\frac{2}{f′′(x_{0})}} となる。よって

g(K) ∼_{K→∞}\sqrt{\frac{2}{f′′(x_{0})}} ∫_{−∞}^{∞} e^{iKu^{2}+iKf(x_{0})}du

が得られる。さらに Gauss 積分と合わせて、 g(K) の K → ∞ における漸近展開の主要項は

∫_{−∞}^{∞} e^{iKf(x)}dx ∼\sqrt{\frac{2π}{Kf′′(x_{0})}}e^{iKf(x_{0})+ \frac{πi}{4}}

で与えられることが分かる。

一般に n 変数関数 f(x_{1}, ⋯, x_{n}) に関しては、上と同じ仮定の下で積分 ∫_{R^{n}} e^{iKf(x_{1},···,x_{n})}dx_{1} ⋯ dx_{n} の K → ∞ における漸近展開の主要項は

∫_{R^{n}} e^{iKf(x_{1},···,x_{n})}dx_{1} ⋯ dx_{n} ∼_{K→∞} ∑_{α} \frac{π^{\frac{n}{2}} · e^{iKf(α)}}{K^{\frac{n}{2}}\sqrt{| det H(f, α)|}} · e^{\frac{πi}{4} sgnH(f,α)}

と表されることが知られている。ここで和は f の臨界点の全体をわたり、 H(f, α) は f の α におけるヘッシアンとする。

これを多様体上の積分に一般化する。つまり、 X を有限次元の多様体（dimX = n）、 dμ を X 上の測度、 f を X 上の実数値関数とし、

I(K) = ∫_{X} dμ e^{iKf}

の K → ∞ における漸近展開を考える。

簡単のため f を滑らかな関数で、高々有限個の非退化な臨界点 {P_{α}} を持つとする。さらに各 P_{α} に対し、 P_{α} のまわりでの座標 (x_{1}^{α}, ⋯, x_{n}^{α}) を

P_{α} ⟷ (x_{1}^{α}, ⋯, x_{n}^{α}) = (0, ⋯, 0)

と対応するようにとる。さらに P_{α} の近傍での多項式展開を

f(x_{1}^{α}, ⋯, x_{n}^{α}) = f(P_{α}) + \frac{1}{2!} ∑_{i,j} λ_{ij}^{α}x_{i}^{α}x_{j}^{α} + \frac{1}{3!} ∑_{i,j,k} λ_{ijk}^{α}x_{i}^{α}x_{j}^{α}x_{k}^{α} + ⋯

と表す。さらに簡単のため dμ = \frac{dx_{1}···dx_{n}}{(2π)^{\frac{n}{2}}} とする。十分小な P_{α} の近傍を B_{α} とし、

I^{α}(K) = ∫_{b^{α}} \frac{dx_{1}^{α} ⋯ dx_{n}^{α}}{(2π)^{\frac{n}{2}}} exp\{iK(f(P_{α}) + \frac{1}{2!} ∑ λ_{ij}^{α}x_{i}^{α}x_{j}^{α} + ⋯)\}

とおく。 y_{i}^{α} =\sqrt{K}x_{i}^{α} と変数変換すると

I^{α}(K) = ∫ \frac{dy_{1}^{α} ⋯ dy_{n}^{α}}{K^{− \frac{n}{2}} (2π)^{\frac{n}{2}}} e^{iKf(P_{α})} · e^{\frac{1}{2} i ∑ λ_{ij}^{α}y_{i}^{α}y_{j}^{α}}(1 + \frac{i}{3!\sqrt{K}} λ_{ijk}^{α}y_{i}^{α}y_{j}^{α}y_{k}^{α} + o(\frac{1}{K}))

となる（ ∑_{m=0}^{∞} \frac{i^{m}}{m! · K^{\frac{m}{2}}} ( ∑_{i_{1}···i_{m}} λ_{i_{1}···i_{m}}^{α}y_{i_{1}}^{α} ⋯ y_{i_{m}}^{α}) を考える）。

積分

∫_{B^{α}} e^{\frac{1}{2} i ∑ λ_{ij}^{α}y_{i}^{α}y_{j}^{α}}y_{s_{1}}^{α} ⋯ y_{s_{r}}^{α}dy_{1}^{α} ⋯ dy_{n}^{α}

を計算する。微分作用素

D_{J} := \frac{1}{i} \frac{∂}{∂J_{i}}

を用いるとこれは

[D_{s_{1}} ⋯ D_{s_{r}} ∫_{B^{α}} e^{\frac{1}{2} i ∑ λ_{ij}^{α}y_{i}^{α}y_{j}^{α}} · e^{i ∑_{l} J_{l}y_{l}^{α}}dy_{1}^{α} ⋯ dy_{n}^{α}]_{J_{1}=0···J_{n}=0}

と表すことができる。よって、平方完成して適当な定数倍を除くと

[D_{s_{1}} ⋯ D_{s_{r}}e^{− \frac{1}{2} i ∑_{i,j} λ_{α}^{ij}J_{i}J_{j}}]_{J_{1}=0···J_{n}=0}

となる。ここで (λ_{α}^{ij}) は (λ_{ij}^{α}) の逆行列である。次に

∫_{B^{α}} e^{\frac{1}{2} i ∑ λ_{ij}^{α}y_{i}^{α}y_{j}^{α}}(∑_{i,j,k} y_{i}^{α}y_{j}^{α}y_{k}^{α})^{m}dy_{1}^{α} ⋯ dy_{n}^{α}

を考える。これは適当な定数倍を除くと

[(∑_{i,j,k} λ_{ijk}D_{i}D_{j}D_{k})^{m}e^{− \frac{1}{2} i ∑_{i,j} λ_{α}^{ij}J_{i}J_{j}}]_{J_{1}=0···J_{n}=0}

となる。これは λ^{ij}, λ_{ijk} の多項式となり、 m が偶数なら ≠ 0、 m が奇数なら = 0 となることが知られている。

m = 2 のときは、

∑_{i,j,k,i′,j′,k′} λ_{ijk}λ_{i′j′k′}λ^{ii′}λ^{jj′}λ^{kk′}

の形の項と

∑_{i,j,k,i′,j′,k′} λ_{ijk}λ_{i′j′k′}λ^{ij}λ^{kk′}λ^{i′j′}

の形の項で表される。これらをそれぞれ Fig.34 のように、それぞれの頂点から３本の辺が分岐するグラフで表す。このようなグラフは２ループの Feynman ダイアグラムという。

一般の偶数 m の場合には、 m 個の頂点を持ち、各頂点のまわりに３本の辺が集まるグラフによって漸近展開に現れる項を記述することができる。これらは m ループの Feynman ダイアグラムという。

これを用いて I^{α}(K) を求める。

∫_{B^{α}} \frac{dy_{1}^{α} ⋯ dy_{n}^{α}}{(2π)^{\frac{n}{2}}} e^{\frac{1}{2} i ∑ λ_{ij}^{α}y_{i}^{α}y_{j}^{α}} =\frac{1}{\sqrt{| det(λ_{ij}^{α})|}}e^{\frac{πi}{4} sgn(λ_{ij}^{α})}

であるから、

I^{α}(K) = K^{− \frac{n}{2}} · e^{\frac{πi}{4}} · e^{iKf(P_{α})sgn(λ_{ij}^{α})} ·\frac{1}{\sqrt{| det(λ_{ij}^{α})|}} + ⋯

となり、元の積分は

I(K) = ∫_{X} dμe^{iKf}
= ∑_{α} K^{− \frac{n}{2}} · e^{\frac{πi}{4}} · e^{iKf(P_{α})sgn(λ_{ij}^{α})} ·\frac{1}{\sqrt{| det(λ_{ij}^{α})|}}(1 + ∑_{n=1}^{∞} \frac{C_{α,n}}{K^{n}})

となる。ここで、各 C_{α,n} は 2n ループの Feynman ダイアグラムで表される項である。

今までは臨界点が有限個で孤立している場合を考えていたが、次に臨界点集合が X の部分多様体となっている場合を考える（用いるのは、リー群の作用を考えて軌道分解をする手法である）。

まず X = R^{n} として考える。 G を l 次元のリー群（l < n）とし、 G は R^{n} に等距離写像として作用しているとする。 f : R^{n} → R を G-作用で不変な関数とし、 f : R^{n} → R^{l} を滑らかで、かつ、各 G-軌道でただ一つの零点を持つ写像とする。写像 φ : G → R^{l} を

φ(g) := F (g · x) (g ∈ G, x ∈ R^{n})

で定め、さらに単位元 1 ∈ G における φ のヤコビ行列を J(x) で表す。 J(x) は x における G-軌道 G · x の体積要素とリー群 G の体積要素の比を表す。

通常の積分では G-軌道に沿って同じ積分が無限に重複されて計算されることになるので、本質的な部分を取り出すと

∫_{R^{n}} e^{iKf(x_{1},···,x_{n})}δ(F (x)) · det J(x)dx_{1} ⋯ dx_{n}

となる（δ は Dirac の δ-関数）。

積分の被積分関数の部分を全て e の肩にのせて作用に組み込むことができれば、臨界点が孤立している場合と同じように漸近展開を求めることができる。よって、 δ(F (x)) と det J(x) についてそれぞれ e を用いて表す。

まず、 δ(F (x)) については Fourier 変換を用いると

δ(F (x)) = \frac{1}{(2π)^{l}} ∫_{R^{l}} e^{i ∑_{j} F_{j}(x)ϕ_{j}}dϕ_{1} ⋯ dϕ_{l}

となる（ただし F = (F_{1}, ⋯, F_{l})）。よって ϕ_{1}, ⋯ ϕ_{l} を新たに積分変数として加えることにより、 δ(F (x)) を作用に組み込むことができる。

次に、 det J(x) を作用に組み込むため Grassmann 変数を導入する。

定義 6.1.1(Grassmann 変数) {c_{i}}, {c̄_{i}}(1 ≤ i ≤ l) という２つの変数の組が

(1) c_{i}c_{j} + c_{j}c_{i} = 0

(2) c̄_{i}c̄_{j} + c̄_{j}c̄_{i} = 0

(3) c_{i}c̄_{j} = c_{j}c̄_{i} を満たすとき（1 ≤ i, j ≤ l）、この変数の組を Grassmann 変数という。

Grassmann 変数について、定義より c_{i}^{2} = c̄_{i}^{2} = 0 が分かる。さらに任意の関数 ψ と任意の数 θ について

∫ dc ψ(c) = ∫ dc ψ(c + θ)

は成立しているものとする。任意の数 α, β に対し、 ψ(c) = α + β · c として

I_{0} := ∫ dc I_{1} := ∫ dc c

とおくと、

∫ dc ψ(c) = αI_{0} + βI_{1}
∫ dc ψ(c + θ) = (α + βθ)I_{0} + βI_{1}

この２式が等しくなることより、 I_{0} = 0 が分かる。また、適当に正規化することで I_{1} = 1 としてよい。つまり、 ∫ dc = 0 , ∫ dc c = 1 となり、 ∫ dc = \frac{∂}{∂c} と考えることができる。

l × l 正方行列 A = (A_{ij}) に対し、

I(A) = ∫ ∏_{i=1}^{l} dc_{i}dc̄_{i} exp( ∑_{i,j=1}^{l} c̄_{i}A_{ij}c_{j})

とおくと、 ∫ dc = ∫ dc̄ = 0 より、右辺の積分は exp をマクローリン展開した l

次の項のみを考えればよいことが分かる。つまり ∫ ∏_{i=1}^{l} dc_{i}dc̄_{i} \frac{1}{l!}( ∑_{i,j=1}^{l} c̄_{i}A_{ij}c_{j})^{l}

で生き残るのは c̄_{1} ⋯ c̄_{l}c_{1} ⋯ c_{l} の項のみであるから

I(A) = (∫ ∏_{i=1}^{l} dc_{i}dc̄_{i} c̄_{i}c_{i}) · ( ∑_{perm} sgn(i_{1} ⋯ i_{l})A_{1i_{1}} ⋯ A_{li_{l}})
= det A

となる。ここで sgn(i_{1} ⋯ i_{l}) は置換 [ \begin{matrix}1 & ⋯ & l \\ i_{1} & ⋯ & i_{l} \end{matrix} ] の符号で、 ∑_{perm} は 1 ∼ l

の順列で和をとるものとする。これを det J(x) に適用すると

det J(x) = ∫ ∏_{i=1}^{l} dc_{i}dc̄_{i} · exp( ∑_{i,j=1}^{l} c̄_{i}J_{ij}c_{j})

と表すことができる。これで被積分関数の部分を全て e の肩にのせて作用に組み込むことができた。

話を多様体の場合に戻す。本質的な変更無く、 R^{n} の場合を適用できる。 X を n 次元多様体、 G を l 次元リー群とし、 G の X への作用は自由とする。

π : X ⟶ X/G

を自然な全射とし、

s : X/G ⟶ X

を切断とする。 X 上の座標 (h_{1}, ⋯, h_{n}) に対し、切断 s が h_{1} = ⋯ = h_{l} = 0 で定義されているとする（Fig.35 参照）。

命題 6.1.2 （[11]pp88,[22]pp166 参照）

1 = ∫_{G} dg ∏_{i=1}^{l} δ(h_{i}(g · x)) · det(\frac{∂h_{i}(g · x)}{∂g_{j}})|_{h_{i}=0}

（ただし、 dg = dg_{1} ⋯ dg_{l}, ∫_{G} dg = vol(G), x ∈ {X/G 上のファイバー } とする。）証明

1 = Δ · ∫_{G} dg ∏_{i=1}^{l} δ(h_{i}(g · x))

とおくと、

Δ = {∫_{G} dg ∏_{i=1}^{l} δ(h_{i}(g · x))}^{−1}
= \{∫_{G} dh_{1} ⋯ dh_{l} · det(\frac{∂g_{j}}{∂h_{i}(g · x)}) ∏_{i=1}^{l} δ(h_{i}(g · x))\}^{−1}
= \{det(\frac{∂g_{j}}{∂h_{i}(g · x)})|_{h_{1}=···h_{l}=0}\}^{−1}
= det(\frac{∂h_{i}(g · x)}{∂g_{j}})|_{h_{1}=···h_{l}=0} ■

ここで出てきた det(\frac{∂h_{i}(g·x)}{∂g_{j}})|_{h_{1}=···h_{l}=0} は軌道 G · x とリー群 G の体積比を表している。

よってこの場合は

I(K) = ∫_{X} dμe^{iKf}
= ∫_{G} dg · ∫_{X} dμe^{iKf} · ∏_{i=1}^{l} δ(h_{i}(g · x)) · det(\frac{∂h_{i}(g · x)}{∂g_{j}})|_{h_{1}=···h_{l}=0}

となり、 Fourier 変換、 Grassmann 変数を用いて同様に被積分関数の部分を全て e の肩にのせて作用に組み込むことができる。

Remark ここでは有限次元の多様体に限って話を進めたが、無限次元の場合でも同様のことが可能であることが知られている。 Chern-Simons 汎関数の場合でも、ゲージ軌道に沿った退化の問題を解消するため、平坦接続 α のまわりで d_{α}^{∗}A = 0 をみたす A ∈ A に制限して積分を行う（ここで、 d_{α} は d_{α}f := df + [α, f] で与えられる共変微分）。これは F (x) = 0 に対応する操作で、ゲージ固定と呼ばれる。そのためには新たにフェルミオン場 c, c̄ とボソン場 ϕ を導入する必要がある。ここで用いられる手法は BRS 形式と呼ばれる。

6.2 K → ∞ における漸近展開の主要項

ここでは特に断りのない限り、第４章と同じ記号を用いるとする。ゲージ群の接続の空間への作用

g^{∗}A = g^{−1}Ag + g^{−1} · dg (A ∈ A, g ∈ G)

の無限小バージョンを考える。 g = e^{tf} とすると

g^{∗}A = A + t · (df + [A, f]) + o(t^{2})

と表すことができる。よって、ゲージ群の作用の無限小バージョンは

d_{A}f := df + [A, f]

で定まる共変微分 d_{A} によって与えられる。

α ∈ A を平坦接続とし、 α に付随する局所系（local system）を 𝔤_{α} とする。 𝔤_{α} に値をとる i 次微分形式全体を Ω_{α}^{i} で表すと、 d_{α} を微分とする de Rham 複体

0 ⟶ Ω_{α}^{0} ⟶ Ω_{α}^{1} ⟶ Ω_{α}^{2} ⟶ Ω_{α}^{3} ⟶ 0

が得られる。ここで、 d_{α} ∘ d_{α} = 0 は α が平坦接続であることから従う。

H^{∗}(M, 𝔤_{α}) = 0 が成立していると仮定する（Poincaré 双対性より本質的な仮定は H^{0}(M, 𝔤_{α}) = H^{1}(M, 𝔤_{α}) = 0）。 A はアファイン空間なので、 α における接空間 T_{α}A は Ω^{1}(M, 𝔤) と同一視される。 T_{α}A には内積を

< A, B >= −\frac{1}{8π^{2}} ∫_{M} T r(A ∧ ∗B)

で定義する。この内積による接空間の直交分解

T_{α}A = Im d_{α} ⊕ Ker d_{α}^{∗}

が得られる。ここで、 d_{α}^{∗} は d_{α} の双対作用素である。また、 Im d_{α} は軌道 G ·α の α における接空間とみなすことができる。

Chern-Simons 汎関数の α におけるヘッシアンを以下で計算する。 α_{t} := α + tβ とおくと

CS(α_{t}) = CS(α) + \frac{t^{2}}{8π^{2}} ∫_{M} T r(β ∧ d_{α}β) + o(t^{3})

よって、 α におけるヘッシアンは

Q_{α}(β) = − < β, ∗d_{α}β >

という２次形式で与えられる。 Chern-Simons 汎関数は無限小ゲージ変換で不変であることから、 Q_{α} はゲージ群の作用による軌道 G · α の方向には退化しているので、商空間 Ω_{α}^{1}/d_{α}Ω_{α}^{0} 上の２次形式を定める。また、 Q_{α} は Ω_{α}^{1}/d_{α}Ω_{α}^{0} 上の作用素 − ∗ d_{α} とみなすことができる。以下では Q_{α} をこの作用素とみなす。

２次形式 Q_{α} の行列式 det Q_{α} を計算したいが、これは無限次元の行列式であるため、このままでは意味づけも不可能である。そこで、別の作用素を用いて定める。 Ω_{α}^{1} ⊕ Ω_{α}^{3} ≃ Ω_{α}^{1} ⊕ Ω_{α}^{0} 上の作用素 P_{α} を

P_{α} = \{ \begin{matrix}d_{α} ∗ + ∗ d_{α} & on Ω_{α}^{0} \\ −(d_{α} ∗ + ∗ d_{α}) & on Ω_{α}^{1} \end{matrix}

で定義する。 P_{α} の作用を直和分解 Ω_{α}^{0} ⊕ Im d_{α} ⊕ Ker d_{α}^{∗} に関して記述すると

P_{α} = [ \begin{matrix}0 & −d_{α}^{∗} & 0 \\ −d_{α} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & Q_{α} \end{matrix} ]

の形に表すことができて、さらに定義式より

P_{α}^{2} = Δ_{α}^{0} ⊕ Δ_{α}^{1}

となる。ここで、 Δ_{α}^{j} は d_{α}^{∗}d_{α} + d_{α}d_{α}^{∗} で与えられる Ω_{α}^{j} の Laplace 作用素である。

一般に Lapace 作用素 Δ の正規化された行列式は次のように定義される。 Δ の固有値全体（Lapace 作用素であるため固有値は全て正）を重複も込めて並べたものを λ_{1} ≤ ⋯ ≤ λ_{j} ≤ ⋯ として、

ζ_{Δ}(s) := ∑_{j=1}^{∞} \frac{1}{λ_{j}^{s}} (s ∈ C)

と定義する。これを zeta-関数という。これは Re s が十分大なら正則となり、全平面に有理型関数として解析接続されることが知られている。特に s = 0 は極ではなく、 ζ_{Δ}(0), ζΔ^{′}(0) の値が定まる。

det Δ := exp(−ζΔ^{′}(0))

と定義し、これを Δ の正規化された行列式という。この定義に従うと Δ_{α}^{0}, Δ_{α}^{1} の行列式は意味を持ち、なおかつ

T_{α}(M) = \frac{(det Δ_{α}^{0})^{\frac{3}{2}}}{(det Δ_{α}^{1})^{\frac{1}{2}}}

は多様体のリーマン計量に依存しない位相不変量であることが Ray-Singer によって示された T_{α} を α に関する M の Ray-Singer トージョンという。

命題 6.2.1

\begin{matrix}√ & \overline{det(d_{α}^{∗}d_{α})} \\ √ & \overline{| det Q_{α}|} \end{matrix} = Tα^{\frac{1}{2}}

証明 det P_{α}^{2} = det Δ_{α}^{0} · det Δ_{α}^{1} より | det P_{α}| =\sqrt{det Δ_{α}^{0} · det Δ_{α}^{1}} である。 P_{α} の表示より | det P_{α}| = det(d_{α}^{∗}d_{α}) · | det Q_{α}| と定めると

| det Q_{α}| = \frac{| det P_{α}|}{det(d_{α}^{∗}d_{α})} = \frac{| det P_{α}|}{det Δ_{α}^{0}} = \frac{(det Δ_{α}^{1})^{\frac{1}{2}}}{(det Δ_{α}^{0})^{\frac{1}{2}}} = \frac{det(d_{α}^{∗}d_{α})}{T_{α}} ■

本題となる漸近展開の主要項の表示に入る。まず、 η-不変量を定義する。 Lapace 作用素 Δ の正規化された行列式より、作用素 P_{α}^{2} の行列式は定義でき、しかも固有値は全て正であることが分かるが、 P_{α} に関しては固有値の正負は不明である。そこで、 P_{α} の固有値 {λ_{j}}_{j} に対し、

ζ_{Δ}(s) := ∑_{j=1}^{∞}(sign λ_{i})\frac{1}{|λ_{j}|^{s}} (s ∈ C)

と定義する。これを一般化された zeta-関数という。

今までは平坦接続 α を一つ固定して議論を進めてきたが、 α が変わると当然 zeta-関数も変わる。そこで平坦接続 α を変数と思って、 s → 0 での一般化された zeta-関数を考える。これが η-不変量である。具体的な定義は以下のようになる。

定義 6.2.2 （η-不変量 [1]I.pp44）平坦接続 α に対し定まる作用素 P_{α} の固有値 {λ_{j}}_{j} に対し、

η(α) = \frac{1}{2} lim_{s→0} ∑_{j=1}^{∞}(sign λ_{j}) · \frac{1}{|λ_{j}|^{s}} (s ∈ C)

と定義する。 η(α) を α の η-不変量という。

ここで\frac{1}{2} 倍しているのは、後の表示を簡単にするためである。実は、 η-不変量と Chern-Simons 汎関数の間には

\frac{1}{2}(η(α) − η(0)) = \frac{2}{π} CS(α)

という関係式が存在する。ここで、 η(0) は自明な接続 α = 0 の η-不変量とする。

これを用いて、 Witten 不変量は

Z_{K}(M) ∼_{K→+∞} e^{\frac{iπη(0)}{2}} · ∑_{α} e^{2πi(K+2)·CS(α)} · T_{α}

と表すことができる。

ところが、この表示には一つ問題がある。 CS(α), T_{α} は位相不変量だが、 η(0) は位相不変量でない（M 上の計量に依存する）。

そこで、補正を行う。 g を M の計量、 ω を M のスピン束上の Levi-Civita 接続とする。

定理 6.2.3

\frac{η(0)}{4} + \frac{I(g)}{24π}

は位相不変量である。ただし、 I(g) := \frac{1}{4π} ∫_{M} T r(ω ∧ dω + \frac{2}{3}ω ∧ ω ∧ ω)□

この定理を用いて、

Z_{K}(M) ∼_{K→+∞} exp(2πi(\frac{η(0)}{4} + \frac{I(g)}{24π})) ∑_{α} e^{2πi(K+2)·CS(α)} · T_{α}

と表すことができる。この表示ならば、 K が十分大の時は Chern-Simons 分配関数は M の位相不変量として定義することができる。

最後に補足として、 G = SU(2) の場合の Witten 不変量の別の表示を紹介しておく。（[1]I.pp68,[2] 参照）

Q(A) := 16 · CS(A) (mod Z) (A ∈ A)

とし、 Q(A) に対し

\frac{I_{A}}{4} := 2 · CS(A) − \frac{Q(A)}{8} − \frac{3(1 + b_{1}(M))}{8}
− \frac{dim H^{0}(M, 𝔤_{A}) + dim H^{1}(M, 𝔤_{A})}{8} (mod 2)

と定義する。ただし、 b_{1}(M) は M の１次元ベッチ数とする。上で定義した I_{A} をスペクトルフローという。 I_{A} は mod 8 で決まる数である。

平坦接続 α に対し、 H^{0}(M, 𝔤_{α}) = H^{1}(M, 𝔤_{α}) = 0 は仮定する。これより b_{1}(M) = 0 も従う。このとき、

Z_{K}(M) ∼_{K→+∞} \frac{1}{2}e^{− \frac{3}{4} πi} · ∑_{α} e^{−2πi \frac{Iα}{4}} · e^{2πi(K+2)·CS(α)} ·\sqrt{T_{α}}

となる。

第7章 Appendix B:On a conformal invariant of three-dimensional manifolds

ここでは、 [7] の中で J.Simons と S.Chern によって導入された３次元多様体の位相不変量について概説する。 M をコンパクトで向きづけ可能な３次元リーマン多様体とし、 P を M 上の正規直交フレーム束とする。さらに s : M → P を切断とする。このような仮定の下で、レビ-チビタ接続を

ω = (ω_{ij}) (1 ≤ i, j ≤ 3)

で表し、曲率を

Ω = (Ω_{ij}) (1 ≤ i, j ≤ 3)

で表すとする。 P のフレームを (e_{1}, e_{2}, e_{3}) とし、リーマン計量から決まる内積を

< e_{i}, e_{j} >= g_{ij} (1 ≤ i, j ≤ 3)

と定義する。さらに g^{ij} を

∑_{j} g_{ij}g^{jk} = δ_{i}^{k}

となるようにとる（δ はクロネッカーのデルタ）。 T （これは cubic form と呼ばれる）を

8π^{2}T = −\frac{1}{3} ∑_{i,j,k} ω_{i}^{j} ∧ ω_{j}^{k} ∧ ω_{k}^{i} + ∑_{i,j} ω_{i}^{i} ∧ Ω_{j}^{j} − ∑_{i,j} ω_{i}^{j} ∧ Ω_{j}^{i}

で定義する。さらに積分

Φ(s) = ∫_{M} \frac{1}{2}T

を考える。このとき、以下が成立する。命題別の切断 t をとったとき、 Φ(t) − Φ(s) は整数値をとる。つまり

Φ(M) := Φ(s) (mod 1)

は切断 s の選び方に依存しない。

定理接続を変数と思ったとき、 Φ(M) の臨界点は平坦接続である。

以下ではこの定理の証明を行う。まずは証明のために必要となる準備をする。接続の族を考え、そのパラメータを τ とする。すなわち、 ω_{i}^{j},Ω_{i}^{j},T は τ に依存すると仮定する。このとき、関係式

Ω_{i}^{j} = dω_{i}^{j} + ∑_{k} ω_{i}^{k} ∧ ω_{k}^{j}
dΩ_{i}^{j} = ∑_{k} ω_{i}^{k} ∧ Ω_{k}^{j} − ∑_{k} Ω_{i}^{k} ∧ ω_{k}^{j}

に注意して

8π^{2} \frac{∂T}{∂τ} = − d(∑_{i,j} ω_{i}^{i} ∧ \frac{∂ω_{j}^{j}}{∂τ} − ∑_{i,j} ω_{i}^{j} ∧ \frac{∂ω_{j}^{i}}{∂τ})
+ 2 ∑_{i,j}(\frac{∂ω_{i}^{i}}{∂τ} ∧ Ω_{j}^{j} − \frac{∂ω_{i}^{j}}{∂τ} ∧ Ω_{j}^{i})

となる。この式の証明は直接計算である。まず、 8π^{2}T の第一項を偏微分すると

\frac{∂}{∂τ} (−\frac{1}{3} ∑_{i,j,k} ω_{i}^{j} ∧ ω_{j}^{k} ∧ ω_{k}^{i})

= −\frac{1}{3} ∑_{i,j,k} \frac{∂ω_{i}^{j}}{∂τ} ∧ ω_{j}^{k} ∧ ω_{k}^{i} − \frac{1}{3} ∑_{i,j,k} ω_{i}^{j} ∧ \frac{∂ω_{j}^{k}}{∂τ} ∧ ω_{k}^{i} − \frac{1}{3} ∑_{i,j,k} ω_{i}^{j} ∧ ω_{j}^{k} ∧ \frac{∂ω_{k}^{i}}{∂τ}
= −\frac{1}{3} ∑_{i,j} \frac{∂ω_{i}^{j}}{∂τ} ∧ (Ω_{j}^{i} − dω_{j}^{i}) − \frac{1}{3} ∑_{j,k} \frac{∂ω_{j}^{k}}{∂τ} ∧ (Ω_{k}^{j} − dω_{k}^{j})

−\frac{1}{3} ∑_{i,k} \frac{∂ω_{k}^{i}}{∂τ} ∧ (Ω_{i}^{k} − dω_{i}^{k})

= − ∑_{i,j} \frac{∂ω_{i}^{j}}{∂τ} ∧ Ω_{j}^{i} + ∑_{i,j} \frac{∂ω_{i}^{j}}{∂τ} ∧ dω_{j}^{i}

同様に第二項、第三項も偏微分して整理すればよい。ここで一つ補題を準備する。補題正規直交フレーム束 P のフレームは任意のフレームとして議論を進めても一般性は失われない。

証明 P′ を全てのフレームを集めた M 上のフレーム束とする。 i : P → P′ を包含写像とする。シュミットの直交化のプロセスより、レトラクション r : P′ → P が存在して、切断 s : M → P に対し、 s = r ∘ s′ をみたす写像 s′ を定義すると、これは束 P′ の切断になる。さらに、 P’ 上で cubic form T を考えると

∫_{M} \frac{1}{2}T = ∫_{M} \frac{1}{2}i^{∗}T ■

定理の証明補題より、局所座標系 u^{i} をとり、自然なフレーム場\frac{∂}{∂u^{i}} を考えて話を進める。クリストッフェル記号を用いて

ω_{i}^{j} = ∑_{k} Γ_{ik}^{j}du^{k}
Γ_{ik}^{j} = ∑_{l} g^{jl}Γ_{ilk}
Γ_{ilk} = \frac{1}{2}(\frac{∂g_{il}}{∂u^{k}} + \frac{∂g_{kl}}{∂u^{i}} − \frac{∂g_{ik}}{∂u^{l}})

と定義する。さらに

Ω_{i}^{j} = \frac{1}{2} ∑_{k,l} R_{ikl}^{j}du^{k} ∧ du^{l}

と定義すると R_{ikl}^{j} について以下の関係式が成り立つ。

R_{ikl}^{j} = −R_{jkl}^{i} = −R_{ilk}^{j}
R_{ikl}^{j} = R_{kij}^{l}
R_{ikl}^{j} + R_{ilj}^{k} + R_{ijk}^{l} = 0

共変外微分 D に対し、

DΩ_{i}^{j} = \frac{1}{2} ∑_{k,l,h} R_{ikl,h}^{j}du^{k} ∧ du^{l} ∧ du^{h}

とする。以下「,」のついた添字は共変外微分を表すものとする。 C_{kl}^{j} を

C_{kl}^{j} := ∑_{i} R_{kii,l}^{j} − ∑_{i} R_{lii,j}^{k} − \frac{1}{4}(δ_{k}^{j} ∑_{i} R_{kii,l}^{j} − δ_{l}^{j} ∑_{i} R_{lii,k}^{j})
C_{jkl} := ∑_{i} R_{kii,l}^{j} − ∑_{i} R_{lii,j}^{k} − \frac{1}{4}(g_{jk} ∑_{i} R_{kii,l}^{j} − g_{jl} ∑_{i} R_{lii,k}^{j})

で定義する。ここで δ はクロネッカーのデルタである。ビアンキの恒等式より

∑_{j} C_{kj}^{j} = 0

C_{jkl} + C_{klj} + C_{ljk} = 0

となる。この二式より、行列

C = [ \begin{matrix}C_{23}^{1} & C_{31}^{1} & C_{12}^{1} \\ C_{23}^{2} & C_{31}^{2} & C_{12}^{2} \\ C_{23}^{3} & C_{31}^{3} & C_{12}^{3} \end{matrix} ]

は対称であり、 G := (g_{ij}) とすると T r(GC) = 0 となる。

ここで

8π^{2} \frac{∂T}{∂τ} = − d(∑_{i,j} ω_{i}^{i} ∧ \frac{∂ω_{j}^{j}}{∂τ} − ∑_{i,j} ω_{i}^{j} ∧ \frac{∂ω_{j}^{i}}{∂τ})
+ 2 ∑_{i,j}(\frac{∂ω_{i}^{i}}{∂τ} ∧ Ω_{j}^{j} − \frac{∂ω_{i}^{j}}{∂τ} ∧ Ω_{j}^{i})

の両辺を積分する。 ∂M = ∅ とすると、ストークスの定理と Ω_{i}^{j} が交代であることから

8π^{2} \frac{∂}{∂τ} ∫_{M} T = −2 ∫_{M} ∑_{i,j} \frac{∂ω_{i}^{j}}{∂τ} ∧ Ω_{j}^{i}

となる。ここで、 v_{ij} = \frac{∂g_{ij}}{∂τ} とすると

\frac{∂ω_{i}^{j}}{∂τ} = ∑_{l} g^{jl}\{− ∑_{k} v_{lk}ω_{i}^{k} + \frac{1}{2} ∑_{k}(\frac{∂v_{il}}{∂u^{k}} + \frac{∂v_{kl}}{∂u^{i}} − \frac{∂v_{ik}}{∂u^{l}})du^{k}\}

となる。これを用いて計算すると

\frac{∂}{∂τ} ∫_{M} T = 0 ⟺ ∫_{M} ∑_{i,j} \frac{∂ω_{i}^{j}}{∂τ} ∧ Ω_{j}^{i} = 0
⟺ ∫_{M} T r(V C)du^{1} ∧ du^{2} ∧ du^{3} = 0
⟺ T r(V C) = 0

ここで V := (v_{ij}) である。つまり、 T r(V G^{−1}) = 0 をみたすような全ての対称行列 V に対し T r(V C) = 0 であるから、 C は G^{−1} の定数倍、もしくは、 GC は単位行列の定数倍となる。いずれにせよ、 T r(GC) = 0 より GC = 0 となる。これより C = 0 が分かる。 [10]pp92 の Shouten の結果より、 C=0 と M が平坦であることは同値。よって定理は従う。 Remark Φ(M) は実質的には η− 不変量と等しい。このことを以下で示す。 cubic formT を３次元以外でも定義する。つまり 1 ≤ i, j ≤ 3 の制約を外す。このとき、

8π^{2} \frac{∂T}{∂τ} = − d(∑_{i,j} ω_{i}^{i} ∧ \frac{∂ω_{j}^{j}}{∂τ} − ∑_{i,j} ω_{i}^{j} ∧ \frac{∂ω_{j}^{i}}{∂τ})
+ 2 ∑_{i,j}(\frac{∂ω_{i}^{i}}{∂τ} ∧ Ω_{j}^{j} − \frac{∂ω_{i}^{j}}{∂τ} ∧ Ω_{j}^{i})

であるから

8π^{2}dT = − d(∑_{i,j} ω_{i}^{i} ∧ dω_{j}^{j} − ∑_{i,j} ω_{i}^{j} ∧ dω_{j}^{i}
+ 2 ∑_{i,j}(dω_{i}^{i} ∧ Ω_{j}^{j} − dω_{i}^{j} ∧ Ω_{j}^{i})

となる。関係式

Ω_{i}^{j} = dω_{i}^{j} + ∑_{k} ω_{i}^{k} ∧ ω_{k}^{j}

により整理すると

8π^{2}dT = − ∑_{i,j} Ω_{i}^{j} ∧ Ω_{j}^{i}

となる。つまり、 8π^{2}dT は第一ポントリャーギン形式である。 Hirzebruch の符号数定理を４次元多様体 I × M （I は単位区間）に適用すると

sign(I × M) = \frac{1}{3} ∫_{I×M} 8π^{2}dT − (η(ρ_{1}, 0) − η(ρ_{0}, 0))

である。ここで ρ_{1}, ρ_{0} はそれぞれ {1} × M, {0} × M 上の metric とする。実は sign(I × M) = 0 であることが知られている。よって

η(ρ_{1}, 0) − η(ρ_{0}, 0) = \frac{1}{3} ∫_{I×M} 8π^{2}dT
= \frac{1}{3} ∫_{\{1\}×M} 8π^{2}T − \frac{1}{3} ∫_{\{0\}×M} 8π^{2}T

となる。 metric ρ を ρ := tρ_{1} + (1 − t)ρ_{0} (0 ≤ t ≤ 1) で定義すると

η(ρ, 0) = \frac{1}{3} ∫_{M} 8π^{2}T + C

となる（ただし C は定数）。つまり定数部分の自由性を除けば Φ(M) を考えることと η− 不変量を考えることは同義である。

参考文献

[1] M.Atiyah, V.K.Patodi, I.M.Singer: Spectral geometry and Riemannian geometry I, Math.Proc.Camb.Phil.Soc. 77 (1975) 43-69; ibid. II, ibid. 78 (1975) 405-432; ibid. III, ibid. 79 (1976) 71-99

[2] M.Atiyah: On framings of 3-manifolds, Topology 29 No.1 (1990) 1-7

[3] M.Atiyah 「The Geometry and Physics of knots」 (Cambridge University Press, 1990)

[4] A.Beauville, Y.Laszlo: Conformal blocks and generalized theta functions, Comm.Math.Phys.164 (1994) 385-419

[5] J.S.Birman 「Braids, Links, and Mapping class groups」 (Princeton University Press, 1974)

[6] J.S.Birman, H.M.Hilden: Heegaard splittings of branched coverings of S^{3}, Trans.Amer.Math.Soc. 213 (1975) 315-352

[7] S.S.Chern, J.Simons: Characteristic forms and geometrical invariants, Ann.of Math 99 (1974) 48-69

[8] R.Craggs: A new proof of the Reidemeister-Singer theorem on stable equivalence of Heegaard splittings, Proc.Amer.Math.Soc 57 No.1 (1976) 143-147

[9] L.Crane: 2-d Physics and 3-d Topology, Comm.Math.Phys. 135 (1991) 615-640

[10] L.P.Eisenhart: Riemannian Geometry, (Princeton Univ.Press, Princeton, 1949)

[11] L.D.Faddev 「Gauge Fields, Introduction to Quantum Theory」 (Addison-Wesley, 1991)

[12] L.Funar: Topological and conformal field theory, Comm.Math.Phys. 171 (1995) 405-458 [13] H.B.Griffiths: Automorphisms of a 3-dimensional handlebody,

Abh.Math.Sem.Univ.Hamburg 26 (1964) 191-210

[14] A.Hatcher, W.Thurston: A presentation for the mapping class group of a closed orientable surface, Topology 19 (1980) 221-237

[15] S.Hu 「Lecture Notes on Chern-Simons-Witten Theory」 (World scientific, 2001)

[16] S.Humphries: Generators for the mapping class group, Lect.Notes in Math., Springer (1979) 44-47

[17] V.G.Kac 「Infinite Dimensional Lie Algebras」 (Birkhauser, 1983)

[18] T.Kohno: Monodromy representations of braid groups and Yang-Baxter equations, Ann.Inst.Fourier 37 No.4 (1987) 139-160

[19] T.Kohno: Topological invariants for 3-manifolds using representations of mapping class groups I, Topology 31 No.2 (1992) 203-230

[20] T.Kohno: Topological invariants for 3-manifolds using representations of mapping class groups II:Estimating tunnel number of knots, Contemp.Math.Amer.Math.Soc. 175 (1994) 193-217

[21] 河野俊丈「場の理論とトポロジー」 (岩波書店, 1998)

[22] 九後汰一郎「ゲージ場の量子論 I」 (培風館, 1989)

[23] M.Li, M.Yu: Braiding matrices, modular transformations and topological field theories in 2+1 dimensions, Comm.Math.Phys. 127 (1990) 195-224

[24] W.B.R.Lickorish: A finite generators for the homeotopy group of a 2manifold, Proc.Camb.Phil.Soc. 60 (1964) 769-778 (corrigendum) ibid. 62 (1996) 679-681

[25] G.Moore, N.Seiberg: Classical and quantum conformal field theory, Comm.Math.Phys. 123 (1989) 177-254

[26] M.S.Narasimhan, C.S.Seshadri: Stable and unitary vector bundles on a compact Riemann surface, Ann.Math. 82 (1965) 540-567

[27] P.Orlik 「Seifert manifolds」 (Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 291, 1972)

[28] D.G.Quillen: Determinants of Cauchy-Riemann operators over a Riemann surface, Func.Anal.Appl. 19 (1986) 31-34 [29] S.Sawin: Links, Quantum groups and TQFTS, Bull.Amer.Math.Soc.

33 No.4 (1996) 413-445

[30] T.Shigeeda: Master Thesis, Kyushu Univ. (1990)

[31] S.Suzuki: On homeomorphisms of a 3-dimensional handlebody, Can.J.Math. 29 No.1 (1977) 111-124

[32] 土屋昭博「Introduction to Conformal Field Theory」 (重点領域研究 231 「無限可積分系」レクチャーノート No.1, 1992)

[33] 土屋昭博「共形場理論」 (大阪大学数学講義録 Vol.1)

[34] A.N.Varchenko: Asymptotic Solutions to the Knizhnik-Zamolodchikov Equations and Crystal Base, Comm.Math.Phys. 171 (1995) 99-137

[35] E.Verlinde: Fusion rules and modular transformations in 2-D conformal field theory, Nucl.Phys. B300 (1988) 360-376

[36] B.Wajnryb: A simple presentation for the mapping class group of an orientable surface, Israel J.Math. 45 (1983) 157-174

[37] E.Witten: Topological quantum field theory, Comm.Math.Phys. 117 (1988) 353-386

[38] E.Witten: Quantum field theory and the Jones polynomial, Comm.Math.Phys. 121 (1989) 351-399

[39] S.Yamada: The Absolute Value of The Chern-Simons-Witten Invariants of Lens space, J.Knot Theory and Its Ramifications 4 No.2 (1995) 319-327

[40] H.Zieschang: On Heegaard diagram of 3-manifolds, Asterisque 163,164 (1988) 247-280