修士論文

ＡＢＳＴＲＡＣＴ（概略）
本論文ではChern-Simonsゲージ理論による３次元多様体のWitten不変量と
２次元共形場理論の関連を捉え、数学的に２次元の場の量子論と
３次元トポロジーの関係の定式化について述べ、さらに、いくつかの
３次元多様体についてWitten不変量を求める式を具体的に書き下した。
Wittenは３次元多様体の上の接続のなす空間（無限次元多様体）の上で
Chern-Simons functionalを経路積分して、３次元多様体の位相不変量を
「物理的に」定義した。しかし、経路積分は今のところ数学的に厳密な
存在が証明されていないので、数学的な定義とは言えない。
そこで、これを数学的に捉える。本論文では共形場理論を経由することで
数学的なアプローチを行うことを主とし、接動理論からのアプローチを
最後に付録としてまとめた。
３次元多様体をリーマン面を境界とする２つの多様体に分解することにより、
Witten不変量は接着写像の共形ブロックの空間への作用により
記述することが出来る。この際に用いられるのが写像類群の表現である。
この接着写像により、どのように経路積分の値が変化するかを形式的に
導くと、この変化は数学的に厳密な意味を持つ。このように
共形場理論を経由することで、Chern-Simons functionalの経路積分によって
得られる不変量を厳密に理解することが出来る。

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