幾何学概論�T（シンプレクティック幾何学）

・問題
複素二次元ベクトル空間Ｚ＝Ｃ×ＣにＬｉｅ群Ｓ１が
ｅｘｐ（ｉｔ）・（ｚ１，ｚ２）＝（ｅｘｐ（ｉｔ）・ｚ１，ｅｘｐ（ｉｔ）・ｚ２）
で作用しているとする。（ｉは虚数単位）
Ｚをｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃ ｍａｎｉｆｏｌｄと考え、
ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃ ｆｏｒｍ ωが与えられているとする
（１）ベクトル場Ｖを点ｚ＝（ｚ１，ｚ２）に対し
Ｖ（ｚ）＝ｄ／ｄｔ｜ｔ＝０　（ｅｘｐ（ｉｔ）・ｚ１，ｅｘｐ（ｉｔ）・ｚ２）
で定義する。ｚ１＝ｒ１ｅｘｐ（ｉφ１）、ｚ２＝ｒ２ｅｘｐ（ｉφ２）と極座標変換したとき
Ｖ＝∂／∂φ１＋∂／∂φ２となることを示せ。

（２）上で定義したベクトル場とωに対するｍｏｍｅｎｔ ｍａｐ μを求めよ
ただしμ（０，０）＝０とする

（３）上で求めたｍｏｍｅｎｔ ｍａｐに対し０以外の実数は全て
そのｍｏｍｅｎｔ ｍａｐのｒｅｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅとなることを示せ。
さらにｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎμ（−１）／Ｓ１はどうなるかを表し
Ｚ上のｃａｎｏｎｉｃａｌ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃ ｆｏｒｍ ωに対し
ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ上にｉｎｄｕｃｅされる
ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃ ｆｏｒｍを求めよ。


・解答
（１）ｚ１＝ｒ１ｅｘｐ（ｉφ１）、ｚ２＝ｒ２ｅｘｐ（ｉφ２）によって極座標で表すと
（ｅｘｐ（ｉｔ）・ｚ１，ｅｘｐ（ｉｔ）・ｚ２）
＝（ｒ１ｅｘｐ（ｉ（ｔ＋φ１））・ｚ１，ｒ２ｅｘｐ（ｉ（ｔ＋φ２））・ｚ２）
となる。よって定義から
Ｖ（ｚ）＝ｄ／ｄｔ｜ｔ＝０　（ｅｘｐ（ｉｔ）・ｚ１，ｅｘｐ（ｉｔ）・ｚ２）
＝ｄ／ｄｔ｜ｔ＝０　（ｒ１ｅｘｐ（ｉ（ｔ＋φ１））・ｚ１，ｒ２ｅｘｐ（ｉ（ｔ＋φ２））・ｚ２）
＝∂／∂ｒ１（ｄｒ１／ｄｔ）＋∂／∂φ１（ｄ（ｔ＋φ１）／ｄｔ）
＋∂／∂ｒ２（ｄｒ２／ｄｔ）＋∂／∂φ２（ｄ（ｔ＋φ２）／ｄｔ）｜ｔ＝０（ｚ）
＝（∂／∂φ１＋∂／∂φ２）（ｚ）
よってＶ＝∂／∂φ１＋∂／∂φ２となる

（２）ｍｏｍｅｎｔ ｍａｐの定義より
μ：Ｚ→ｇ＝Ｒは
（�@）ｉｖω＝ｄ＜μ，Ｖ＞　ｆｏｒ ∀Ｘ∈ｇ
（�A）μ（ｓ・ｚ）＝μ（ｚ）　ｆｏｒ ∀ｓ∈Ｓ１、∀ｚ∈Ｚ
を満たさなくてはいけない。
（（�A）の条件はＳ１が可換であるからこう表せる）
（�@）より、ａ、ｂ、ｃ、ｄを任意のｆｕｎｃｔｉｏｎｓとして
ベクトル場Ｗ＝ａ・∂／∂ｒ１＋ｂ・∂／∂φ１＋ｃ・∂／∂ｒ２＋ｄ・∂／∂φ２
を両辺に作用させる。
左辺＝ｉｖω（Ｗ）＝ω（Ｖ，Ｗ）＝−２ａ・ｒ１−２ｃ・ｒ２
（微分形式とベクトル場の関係、定義に従い行列式を展開すれば分かる）
右辺＝ｄ＜μ，Ｖ＞（Ｗ）
＝ａ・∂μ／∂ｒ１＋ｂ・∂μ／∂φ１＋ｃ・∂μ／∂ｒ２＋ｄ・∂μ／∂φ２
両辺を比較すると、任意のａ、ｂ、ｃ、ｄについてこの両辺が等しいから、
∂μ／∂φ１＝∂μ／∂φ２＝０、∂μ／∂ｒ１＝−２・ｒ１、∂μ／∂ｒ２＝−２・ｒ２、
となる。この偏微分方程式を解いて
μ（ｚ１，ｚ２）＝−（ｒ１×ｒ１＋ｒ２×ｒ２）＋ｃ
＝−（｜ｚ１｜×｜ｚ１｜＋｜ｚ２｜×｜ｚ２｜）＋ｃ
（ここでｃは定数項とする）
条件よりμ（０，０）＝０であるからｃ＝０
つまりμ（ｚ１，ｚ２）＝−（｜ｚ１｜×｜ｚ１｜＋｜ｚ２｜×｜ｚ２｜）
このμについて（�A）の条件を検証する。
ｓ＝ｅｘｐ（ｉθ）とすると
μ（ｓ・ｚ）＝−（｜ｅｘｐ（ｉθ）・ｚ１｜×｜ｅｘｐ（ｉθ）・ｚ１｜
＋｜ｅｘｐ（ｉθ）・ｚ２｜×｜ｅｘｐ（ｉθ）・ｚ２｜）
＝−（｜ｅｘｐ（ｉθ）｜×｜ｅｘｐ（ｉθ）｜・｜ｚ１｜×｜ｚ１｜
＋｜ｅｘｐ（ｉθ）｜×｜ｅｘｐ（ｉθ）｜・｜ｚ２｜×｜ｚ２｜）
＝−（｜ｚ１｜×｜ｚ１｜＋｜ｚ２｜×｜ｚ２｜）
＝μ（ｚ）
よって（�@）の条件より求めたｍｏｍｅｎｔ ｍａｐは確かに（�A）の条件も満たす
つまりｍｏｍｅｎｔ ｍａｐはμ（ｚ１，ｚ２）＝−（｜ｚ１｜×｜ｚ１｜＋｜ｚ２｜×｜ｚ２｜）

（３）前問よりμ（ｚ１，ｚ２）＝−（｜ｚ１｜×｜ｚ１｜＋｜ｚ２｜×｜ｚ２｜）
極座標ｚ１＝ｒ１ｅｘｐ（ｉφ１）、ｚ２＝ｒ２ｅｘｐ（ｉφ２）で考えると
ｄμ（ｒ１，φ１，ｒ２，φ２）＝（−２ｒ１，０，−２ｒ２，０）
よってｃｒｉｔｉｃａｌ ｐｏｉｎｔはｒ１＝ｒ２＝０、つまりｚ１＝ｚ２＝０
ｃｒｉｔｉｃａｌ ｖａｌｕｅはμ（０，０）＝０
つまり０以外の実数は全てμのｒｅｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅとなる
μ（−１）＝｛（ｚ１，ｚ２）｜ ｜ｚ１｜×｜ｚ１｜＋｜ｚ２｜×｜ｚ２｜＝１｝＝Ｓ３
ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎμ（−１）／Ｓ１は
μ（−１）に（ｚ１，ｚ２）〜（ｙ１，ｙ２）
⇔（ｚ１，ｚ２）＝（ｅｘｐ（ｉθ）・ｙ１，ｅｘｐ（ｉθ）・ｙ２）（∃ｅｘｐ（ｉθ）∈Ｓ１）
によって同値関係を入れたｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ ｓｐａｃｅである。
すなわち、ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎμ（−１）／Ｓ１は
１次元射影空間Ｐ１（Ｃ）となる
次に、μ（−１）／Ｓ１上にｉｎｄｕｃｅされるｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃ ｆｏｒｍを求める。
　　　　　i
μ（−１）→Ｚ
　　p↓
μ（−１）／Ｓ１＝Ｐ１（Ｃ）
Ｚ上に定義されているω＝２（ｒ１ｄｒ１∧ｄφ１＋ｒ２ｄｒ２∧ｄφ２）をiで引き戻すと
μ（−１）＝｛（ｒ１，φ１，ｒ２，φ２）｜ ｒ１・ｒ１＋ｒ２・ｒ２＝１｝より
μ（−１）上では２ｒ１ｄｒ１＋２ｒ２ｄｒ２＝０
よってｒ２≠０とするとｄｒ２＝−ｒ１・ｄｒ１／ｒ２
つまりωのiによる引き戻しは
２（ｒ１ｄｒ１∧ｄφ１−ｒ１ｄｒ１∧ｄφ２）＝２ｒ１ｄｒ１∧（ｄφ１−ｄφ２）となる
一方、p：μ（−１）→μ（−１）／Ｓ１＝Ｐ１（Ｃ）は
（ｚ１，ｚ２）|→［ｚ１：ｚ２］であるから
μ（−１）／Ｓ１＝Ｐ１（Ｃ）上にｚ２≠０つまりｒ２≠０として局所座標を入れる。
このときｚ１／ｚ２＝ｒ１・ｅｘｐ（ｉ（φ１−φ２））／ｒ２より
ｒ＝ｒ１／ｒ２、φ＝φ１−φ２として
μ（−１）／Ｓ１上に局所座標（ｒ，φ）を入れることができる。
これを用いて、μ（−１）／Ｓ１上の２−ｆｏｒｍはａ・ｄｒ∧ｄφと表すことが出来る。
（ここで、ａは任意のｆｕｎｃｔｉｏｎとする）
よってａ・ｄｒ∧ｄφをpで引き戻すと
ａｄ（ｒ１／ｒ２）∧（ｄφ１−ｄφ２）
＝ａ（ｄｒ１／ｒ２−ｒ１・ｄｒ２／ｒ２・ｒ２）∧（ｄφ１−ｄφ２）
μ（−１）上ではｄｒ２＝−ｒ１・ｄｒ１／ｒ２であったから
与式＝ａ（ｄｒ１／ｒ２＋ｒ１・ｄｒ１／ｒ２・ｒ２・ｒ２）∧（ｄφ１−ｄφ２）
＝ａ・ｄｒ１／（１−ｒ１・ｒ１）3/2∧（ｄφ１−ｄφ２）
となる。（3/2は「２分の３乗」の意味）
ａ・ｄｒ∧ｄφをpで引き戻した微分形式とωをiで引き戻した微分形式が等しくなることから
それぞれのｆｕｎｃｔｉｏｎの部分を比較して
２ｒ１＝ａ／（１−ｒ１・ｒ１）3/2
よってａ＝２ｒ１／（１−ｒ１・ｒ１）3/2
ここでｒ＝ｒ１／ｒ２であったから
ａ＝２ｒ／（（１＋ｒ・ｒ）・（１＋ｒ・ｒ））となる
つまりμ（−１）／Ｓ１上に定義されるｒｅｄｕｃｅｄ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃ ｆｏｒｍは
２ｒ・ｄｒ∧ｄφ／（（１＋ｒ・ｒ）・（１＋ｒ・ｒ））となる
これは複素射影空間に存在するＦｕｂｉｎｉ−Ｓｔｕｄｙ ｆｏｒｍに他ならない
同様にμ（−１）／Ｓ１上でｚ１≠０つまりｒ１≠０として局所座標を入れて考えると
ｒ’＝ｒ２／ｒ１＝１／ｒ、φ’＝φ２−φ１＝−φとして
μ（−１）／Ｓ１上に局所座標を入れて計算して
μ（−１）／Ｓ１上に定義されるｒｅｄｕｃｅｄ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃ ｆｏｒｍは
２ｒ’・ｄｒ’∧ｄφ’／（（１＋ｒ’・ｒ’）・（１＋ｒ’・ｒ’））となる
ｒ’＝１／ｒ、φ’＝−φであるから、二つの座標近傍の共通部分では
２ｒ’・ｄｒ’∧ｄφ’／（（１＋ｒ’・ｒ’）・（１＋ｒ’・ｒ’））
＝２ｒ・ｄｒ∧ｄφ／（（１＋ｒ・ｒ）・（１＋ｒ・ｒ））となることが容易に確かめられる。
つまりこの二つは同じ微分形式を定義している。
まとめると、μ（−１）／Ｓ１上に定義されるｒｅｄｕｃｅｄ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃ ｆｏｒｍは
ｒ２≠０のとき：２ｒ・ｄｒ∧ｄφ／（（１＋ｒ・ｒ）・（１＋ｒ・ｒ））
（ｒ＝ｒ１／ｒ２、φ＝φ１−φ２）
ｒ１≠０のとき：２ｒ’・ｄｒ’∧ｄφ’／（（１＋ｒ’・ｒ’）・（１＋ｒ’・ｒ’））
（ｒ’＝ｒ２／ｒ１、φ’＝φ２−φ１）
となり、これはＦｕｂｉｎｉ−Ｓｔｕｄｙ ｆｏｒｍである。
もっと単純に、μ（−１）／Ｓ１＝Ｐ１（Ｃ）＝Ｓ２＝Ｃ∪｛∞｝とみなして
座標ｚ＝ｘ＋ｉｙ（ｘ＝ｒ・ｃｏｓφ、ｙ＝ｒ・ｓｉｎφ）を入れて考えると
ｒ・ｒ＝ｘ・ｘ＋ｙ・ｙ、ｄｘ∧ｄｙ＝ｒ・ｄｒ∧ｄφより
ｒｅｄｕｃｅｄ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃ ｆｏｒｍは
２・ｄｘ∧ｄｙ／（（１＋ｘ・ｘ＋ｙ・ｙ）・（１＋ｘ・ｘ＋ｙ・ｙ））
と表すことも出来る。


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