すのものの「いろいろ」(その45)

「母校」を出身校と定義している辞書が多いが早稲田大学の校歌は違うようだ

そうでないと卒業生が歌う歌になってしまう。

2002-04-02 (2) 01:32:25 +0900

「この案内図に沿って進んでください」だと案内図の幅の分しか進めない?

「沿って」は「順路に沿って進んでください」のように使うべきだろう。 「この案内図に従って」なら問題ない。

2002-04-02 (2) 01:30:40 +0900

「11時5分前」と表示するデジタル時計はないか

「10:55」ではいやだ、という人がいるようだから。

「*時*分をちょっと過ぎたところ」のようなファジーな表現もできるとよいかも。

2002-04-02 (2) 01:27:20 +0900

Twinings の Green Tea and Mint は緑茶ではなくミントティーの味

そう思って飲めば悪くないが、 緑茶とミントが合わさったおいしさを期待すると裏切られる。

付: いまよく見たら、緑の紙箱に緑の字で「緑茶」と書いてある。 その二つの文字がややずれているのは、 漢字を使いなれた人のチェックを受けてないということか。

2002-04-01 (1) 23:05:20 +0900

朝日新聞ラジオ面>NHKラジオ>英語の新番組に「新」マークが着いてない

NHKラジオの英語の番組はきょうから「リニューアル」された。 が、朝日新聞大阪本社版(石川版)のラジオ面では 新番組のマーク「新」は 「ビジネス英会話」だけについており、 「英語リスニング入門」「英会話レッツスピーク」にはついてなかった。 単に字数の関係だろう。

先月30日づけの、最終回を表わす「終」マークも同様。

付:「リニューアル」は旧「英会話」3月号テキストの 「4月からの番組のお知らせ」に出ていた表現を借りた。

2002-04-01 (1) 23:02:45 +0900

NHKラジオ>秋山仁「高校数学入門」は今年度もまた再放送らしい

「また再放送か」と前にも思った記憶があるので、 少なくともここ3年は同じもの?

2002-04-01 (1) 20:13:05 +0900

更新記録

2002-03-15 (5) 02:35:59 +0900 以降の分、これからアップロードします。

2002-03-25 (1) 02:01:36 +0900

携帯電話を買った / メロディー打ち込みにはまった

いままでに打ち込んだのは

  1. バッハ「ゴルトベルク変奏曲」から第 30 変奏曲(Quodlibet)。 携帯電話のほうの音域が C から四オクターブ上の C まで、 ということをよく認識せずに打ち込み始めたため、 最後で「ミファソミファミレドシドレシド」の「ソ」(実音 D)が出せず、 一音下げて最初からやり直し。 前半の最後の一小節だけ五声部となるが、 第二アルト(?)は動きの少ないバスに兼ねてもらうことができた。
  2. ベートーベン「レオノーレ序曲第三番」から、大臣の到着を知らせるラッパ。
  3. ワーグナー「ジークフリート」から、ジークフリートの角笛。
  4. 「君が代」の反行形。レミファソラシドレをレドシラソファミレとする、 (全音か半音かもこめて)完全に音の上下が逆になったメロディー。 タイトルは「きみがよ」を逆から読んで「よがみき」すなわち「余が幹」とつけてみた。 (このタイトルは逆行メロディーにつけるべきものだったか?)
  5. バッハ「フーガの技法」から、未完フーガの最後の部分。 テノールはぶつっと、いかにも未完ですというように切れている。 わずか7小節だが、三つの主題全て --- 三つめは B-A-C-H --- を含んでいる。
  6. ワーグナー「ジークフリート」から鍛冶の歌の冒頭。 リズムパート用に用意されている音色の中にハンマーのような音があることがわかったので。
  7. バッハ「フーガの技法」の未完フーガの最後の部分に (「フーガの技法」全体の)主題を重ねたもの。 ヴァルヒャの CD の解説の楽譜を参考にした。
  8. ワーグナー「パルジファル」第2幕前奏曲冒頭。 音域の関係で嬰ヘ短調に移調したもの。 ピアノスコアの通りに打ち込もうとしたが、あまり響きがよくない。
  9. マーラー「交響曲第十番」第1楽章冒頭のビオラのフレーズ。 音色にバイオリン、チェロ、 コントラバスはあるのになぜかビオラがないのでハーモニカで代用。
  10. ワーグナー「パルジファル」第2幕前奏曲冒頭。原調(ロ短調)のまま。 音域の関係で適当にオクターブ上げたり下げたりしている。
  11. ワーグナー「パルジファル」第1幕から、 パルジファル登場直前の小姓たちの四重唱「Durch Mitleid wissend, der reine Tor」。
  12. ワーグナー「パルジファル」第1幕から、 幕切れのアルトの声「Durch Mitleid wissend, der reine Tor」。
  13. ワーグナー「ラインの黄金」第2場から第3場への間奏曲から、 ニーベルハイムの鍛冶の音。これはリズム楽器だけで簡単に作れる。
  14. ワーグナー「ジークフリート」から、大蛇になったファフナーの動機。
  15. ワーグナー「トリスタンとイゾルデ」前奏曲冒頭。
  16. ワーグナー「トリスタンとイゾルデ」第1幕始まってすぐの Zorn の動機。 これや三つ下の「快楽の動機」などは、 単音で短くて簡単な割には演奏したときの効果が大きい(ような気がする)。
  17. ワーグナー「トリスタンとイゾルデ」第3幕から「喜ばしき牧笛」。
  18. ワーグナー「トリスタンとイゾルデ」第3幕から「悲しき牧笛」。
  19. ワーグナー「タンホイザー」から「快楽の動機」。 原調のホ長調で打ち込み始めたら、嬰ハが音域外で失敗。 半音下げて変ホ長調にした。 もとのほうがずっと妖艶な感じがするのは気のせい?
  20. ベートーベン「弦楽四重奏曲第十四番」第七楽章冒頭。
  21. ベートーベン「交響曲第五番」第三楽章トリオ冒頭。 音域の関係でへ長調に移調した。
  22. グレゴリオ聖歌から「Kyrie」。
  23. グレゴリオ聖歌から「Dies Irae」。
  24. バッハ「無伴奏バイオリンのためのパルティータ第二番」シャコンヌの途中。 (長調になってから数えて)37-45 小節目。 ビオラ編曲譜から打ち込んだので五度低いト短調になっている。
  25. ヒンデミット「無伴奏ビオラソナタ」作品 25 の 1 より、 第四楽章。四分音符が一分間に 600 から 640 という、 恐ろしいスピードの楽章である。 この携帯電話には一パートにつき 256 音までという制限があるので、 “メインメロディー” を打ち込んでいたパートがいっぱいに近くなると今まで伴奏にまわっていて音符の少なかったパートに “メインメロディー”が移るようにした。 ずっと休んでいたパートを鳴らすときはその前に正しい数の休符を置かなければならないが、 変拍子の曲なので数を数えるのが大変。 三分の二ぐらい進んだところで最初と同じ音型に戻るが、そこでめげてやめた。 打ち込んでデバッグしているうちに、この曲のよさがわかってきたような気がする。 なお、この曲は著作権が切れていないと思われるので、 人前で鳴らすことが演奏とみなされるとしたら、問題があるのかも。
  26. マーラー「交響曲第九番」第二楽章 569-577 小節。コーダの直前。
  27. マーラー「交響曲第九番」第四楽章冒頭。これは失敗。 元気のよい行進曲みたいになってしまった。
  28. ---
  29. ---
  30. ジョン・ケージ「4 分 33 秒」。 全休符 51 個、付点八分休符 1 個で 51 + (1/8 + 1/16) = 819/16. これを一分間に四分音符が 45 のスピードで演奏するので 819/16 * 4 * (60/45) = 273 秒 = 4 分 33 秒。

2002-03-24 (0) 22:33:19 +0900

学生アルバイト募集に「金髪不可」と書くのは人種差別に当たらないか?

応募してくるのはほぼ全員がアジア人であり、 アジア人のほとんどは生まれつきは金髪でないので、 もしも金髪が応募してきたらほぼ間違いなく染めているのだ、 という前提で書いているんだろうが、 生まれつき金髪の留学生が差別だと訴えたらどうなるだろうか。

2002-03-21 (4) 02:02:18 +0900

NHKラジオ>「真打ち競演」を打ち切って石川県知事選のニュースになった

20時05分から55分までの番組だが、 あと5分ぐらいのところで「金沢のスタジオから」とニュースがはいり、 その途中で(おそらく)全国ニュースが挿入された。 それが終わり、そのままローカルニュースが続いている。

選管が最初の途中結果を発表する前とのことだ。 新聞のラジオ面によれば、 55分からはこの選挙のニュースが予定されている。 5分早く流すことにどんな意味があるだろうか。

2002-03-17 (0) 20:58:52 +0900

第7回日独産婦人科カンファランス ---「カンファランス」なる表記が珍しい

兼六園内のお休みどころに貼ってあったポスターに出ていた。 四月 11 日に金沢で開かれるらしい。

2002-03-17 (0) 20:35:29 +0900

「伊勢物語:源氏物語=四コママンガ:長編ストーリーマンガ」?

何となくそう思っただけ。

2002-03-17 (0) 20:31:48 +0900

改装された日本基督教団「金沢教会」(金沢市広坂 1-5-2)の看板に誤植

  1. 番地が「一の五のニ」となっている。(「二」がカナ)
  2. 電話番号の市外局番が「0七六」になっている。(「〇」が算用数字)
  3. マタイ伝からの引用箇所が「十一章ニ十八節」となっている。(「二」がカナ)
原文縦書き。

2002-03-17 (0) 20:03:36 +0900

筧さんは「カケー」と読まれないため Kakeï と綴りたくならないか?

「家計」「家系」「火刑」もカナで書けば同じく「かけい」だが、 これらは「カケー」と発音することもあるのに対し「筧」は 「かけひ」にさかのぼるので「ケ」と「イ」は別に発音するのが本来であろう。 そのことを明示するため、ローマ字つづりを Kakei でなく Kakeï としたくならないだろうか。 「掛井」さんも同じ。

2002-03-17 (0) 19:50:12 +0900

二十代の投票率が低いのは被選挙権がない場合があることと関係しないか?

バスの中で、二十代の投票率が低い、というポスターを見た。 二十代前半のほうが後半よりも低い。 これは、「自分に被選挙権のない選挙」にも投票しなければならない、 ということと関係ないだろうか。 自分と同じ世代が立候補していないと投票する気が起こらない、 というわけである。

なお、選挙権・被選挙権を定めているのは憲法ではなく公職選挙法 (第9条、第10条)である。

「入れたい人がいないから」と棄権する人(1998-08-13 (4) 02:01:26 +0900)》 も参照。

2002-03-15 (5) 19:19:33 +0900

上のリンクはいまはった。それまでは a href タグをおいていなかった。

2006-05-12 (5) 00:15:00 +0900

自転車に自転車をつないで一人で乗るのは違法か?

自転車置き場のない学校に子女が自転車で通うとき、 使用人が自転車でついていって二台を連結して帰る。 そして学校が終わる時刻にそれで迎えに行き、 切り離して二人別々に乗って帰る。 これは違法か?

2002-03-15 (5) 19:08:13 +0900

広辞苑第五版に「双対(そうつい)」が載っていない

射影幾何や論理学に「双対原理」が出てくるのに。

2002-03-15 (5) 02:53:24 +0900

紅白歌合戦>歌手・曲目リストは新聞に載るが作詞・作曲者名は載らない

本当に歌の合戦であるなら載らないとおかしいのでは。

2002-03-15 (5) 02:47:43 +0900

八進表記の「15」を「いちご」と読むなら十進の「13」も「いちさん」では

八進の「15」を「じゅうご」と読むのは明らかにおかしい。 「いちご」のように読め、というのを聞いたことがあるが、 それなら十進の「13」も「いちさん」と読むことにならないだろうか。

『意味は「じゅうさん」だが八進ではつづり字は「いち・ご」』 と言うのが正しいのかも。

2002-03-15 (5) 02:44:59 +0900

天秤の皿は「盆」と呼んだらどうか

金貨と天秤の問題を、「ユダの皿」または「ユダの金貨」に脚色したら? (2001-12-23 (0) 01:00:50 +0900)》に 『「十二枚(あるいは十三枚)の皿」としてしまうと、 天秤の左右の「皿」とまぎらわしくなるか』 と書いたが、天秤の皿は「盆」と呼ぶことにしたらどうだろうか。

2002-03-15 (5) 02:40:43 +0900

上のリンクはいまはった。それまでは a href タグをおいていなかった。

2006-05-12 (5) 00:16:44 +0900

「マイカー」「マイバッグ」の「マイ」は「私の」よりも「自分の」?

「マイカーでおこしのみなさん」 「マイバッグをご持参の方々」という言い方ができることを考えてみよ。

2002-03-15 (5) 02:35:59 +0900

電波時計>40 kHz もときどき受信できるようだ

ここ金沢は 40 kHz のほうに近いのに 60 kHz しか受信できないと書いたが、 そうではなかったようだ。もう少しテストしてみよう。

2002-03-14 (4) 23:50:34 +0900

「何を東海道」を、英語の似た例で外国人に「こんなもの」と説明するには?

NHKラジオ「浪曲十八番」を聞いていたら、 「何を東海道」という句が聞こえてきた。 「何を問う」と「東海道」が合体したもののようだった。

英語で似た例を作って外国人に「こんなものだ」と説明するとしたら?

2002-03-14 (4) 23:44:10 +0900

付記1. あるかたがメールでくださったコメントを読んでいるうち、 ほかにどのような例があるのか、よく考えていなかったことに気がついた。 あとは 「……を知らぬ」と「白波の……」を「しら」が共通だからとくっつけて 「……を白波の……」とする例などを思いつくのみ。

付記2. ごくおおざっぱには、 portmanteau word の一種だと説明するのがわかりやすいかもしれない。 smoke と fog で smog とか、breakfast と lunch で brunch とか。 ただし、

という点は異なっている。

2002-03-25 (1) 02:15:51 +0900

「射影子」と書いて「い・えいこ」と読ませる名前の人はいないか?

普通は「しゃえいし」と読む。

「永射影子(ながい・えいこ)」などは?

2002-03-14 (4) 23:15:34 +0900

ベートーベン「運命」第3楽章最後は“アナログ的に”光が射してくるようだ

ハ短調のスケルツォからハ長調のフィナーレに移行する部分。 短調から長調へ、徐々に変わってゆくはずはないが、 何度聞いても“アナログ的に”変化してゆくように感ずる。

2002-03-14 (4) 02:46:39 +0900

シューベルト「未完成交響曲」は室内楽に編曲して楽しむのも一法では?

私はベートーベンの交響曲からクラシック音楽にはいったせいか、 続いてシューベルトの「未完成交響曲」を聞いたとき 「オーケストラでやるような曲ではないのでは?」 と思ってしまった。 最近はこの曲にはこの曲のよさがあるとわかってきたが、 少し“軽い”編曲で楽しむのもいいのでは、と考えている。 ピアノ連弾、ピアノ三重奏、弦楽五重奏、 あるいはベートーベンの七重奏曲のような弦と管の組み合わせはどうであろうか。

(音楽之友社のスコアに掲載された辻荘一氏の解説によれば、 その蔵書の中からこの曲が見つかったところのヒュッテンブレンネル氏はこの曲を 《ピアノ連弾の譜に書きなおして、ひそかに楽しんでいたとのことである》。)

2002-03-14 (4) 02:35:35 +0900

結婚披露宴のメニューに添えられていたフランス語の引用符が英語式だった

ちょっと前に出席した結婚披露宴のメニューに添えられていたフランス語は、 活字の組み方だけをざっと見たところ、 アクサンの位置がやや上すぎること以外はきちんとしているな、と感じた。 が、よく見たら Bœuf de“YONEZAWA”... は引用符が英語式ではないか。 Bœuf de «YONEZAWA» ... となるべきところ?

2002-03-14 (4) 02:01:26 +0900

時刻によって背景やウィンドウの縁の色が変わったらおもしろいのでは

Windows などで、 現在時刻によって背景やウィンドウの縁の色が変わったらおもしろいのではあるまいか。 本物の窓辺で仕事をしていれば、外の景色や窓枠に当たる光の具合で時刻がだいたいわかる。 それのバーチャル版である。 背景(壁紙)の景色が実は3Dであるということにして、 時刻に応じて当たる光の向きが変わることで影も変わってゆく、 なんてのもおもしろいかも。

時刻だけでなく季節で変わってもいいかも知れない。

2002-03-13 (3) 23:03:14 +0900

紀元 1 年の前年が紀元前 1 年なのはそれほどおかしくない

紀元 1 年の前年が 0 年だったら計算が楽になるのに、 昔の人のすることはなんて不合理なんだ、 と思うことがある。

一列に並んだ建物に番号をつけるとしたら端から 「1 軒目」「2 軒目」「3 軒目」……とするだろう。 そして、1 軒目の反対側にも建物が建ったら、 今度は「反対側の 1 軒目」「反対側の 2 軒目」「反対側の 3 軒目」 ……としてゆくのではあるまいか。

そう思うと、それほど不合理と決めつけることはできないと思う。

算数の問題になりえるかも知れない問題:

△ △ △ △ ▲ ▲ ▲ ▲
□ □ □ □ ■ ■ ■ ■
  3 2 1 1 2 3
… 軒 軒 軒 軒 軒 軒 …
  目 目 目 目 目 目
のように家が並んでいるとき、 白い家の 23 軒目から数えて黒い家の 45 軒目は何軒だけ東にありますか。

2002-03-13 (3) 22:55:44 +0900

薄くて硬い表紙のシステム手帳だと、表紙にペンを留めてしおりにできる

何となく買った無印良品のリサイクルレザー(だったかな) のシステム手帳をメモ用に使っているが、 表紙が 1.5 ミリメートルほどと薄く、 また硬く、それに安くて惜しげがないので、 表紙に直接ペンを留められる。 ペン本体がしおりになるような留め方もできて便利である。

2002-03-13 (3) 22:40:44 +0900

広縁の新約聖書の縁の側に穴を開けてシステム手帳に綴じたら

システム手帳に聖書の一部を綴じて持ち歩けたら、と思うことがある。

確か、日本聖書協会から広縁の新約聖書が出ていた。 書き込みができるようにページの回りの余白を広くしてあるものである。 これを買ってきてばらばらにし、縁の側に穴を開けて綴じたらどうだろう。 問題は、左右のページが逆になることである。

+-----+-----+ +-----+-----+ +-----+-----+
|     |1    | |    2|3    | |    4|5    |
|     |     | |     |     | |     |     |
|     |     | |     |     | |     |     |
+-----+-----+ +-----+-----+ +-----+-----+
2n ページ目と 2n+1 ページ目とが見開きになるが、 左側の 2n ページ目を左下の隅まで読んだら右の 2n+1 ページ目の右上に続き、 そのページを左下まで読んだら横書きの本と同じ向きにページをめくって 2n+2 ページ目に続く。ヘン。

2002-03-13 (3) 22:29:24 +0900

「午後12時半」は《午後の「12時半」》? 《「午後12時」の半》?

前者ならお昼すぎ、後者なら真夜中すぎになりそうだ。 私は24時制を使うから関係ないけど。

2002-03-13 (3) 01:41:28 +0900

小型の新約聖書にメモ用紙を組み込んだら持ち運びに便利では?

カバンのポケットのうち、 出し入れしやすいところにメモ用のシステム手帳と小型の新約聖書を入れているが、 一つにまとめられるならそのほうが便利であろう。 表紙をめくったところに大きめの付箋紙をはり、そこにメモを書いたらどうだろうか。

2002-03-13 (3) 01:29:02 +0900

「1」が最初の「年月日」はデジタル量、「0」の「分秒」はアナログ量

「年」「月」「日」は「1」から始まるが、 「分」「秒」は「0」から始まる。 これは、前者がデジタル量であるのに対し後者はアナログ量である、 ということに関連しているような気がする。 つまり、前者は科学があまり発達していない段階でも 「ひとつ、ふたつ、……」 と数えることさえできれば到達できる概念であるのに対し、 後者は科学が発達してからの概念だということである。

じゃあ「時」は? という質問が出そうだが、 そもそもは「1時」から始まったデジタル量だったのが、 「分秒」と組み合わさることでアナログ量化したのではあるまいか。 昔は「教会の鐘がさっきいくつ鳴って、 次の鐘はまだ鳴っていないから今は*時」と言ったのであって、 だから「時」はデジタル量なのだ、という説には説得力がある。 「0時」のほうが合理的と知りつつ「12時」も使われているのは、 デジタル量だった時代のなごりだと思う。

(これはずっと前に気づいたことだが、書いてなかったようなのでここに記す。)

2002-03-13 (3) 01:21:04 +0900

小型の新約聖書をメモ用のシステム手帳に組み込んだら持ち運びに便利では?

カバンのポケットのうち、 出し入れしやすいところにメモ用のシステム手帳と小型の新約聖書を入れているが、 一つにまとめられるならそのほうが便利であろう。 聖書の背に、金具に綴じ込めるような何かをつけられないだろうか。 綴じ込める部分のついたブックカバーをかけるのでもよいかも。

2002-03-13 (3) 00:08:23 +0900

war king という英熟語があったとしたら発音によっては walking と同音?

本文ナシ

2002-03-12 (2) 23:57:02 +0900

《大小によらず宅配するから「大小便(だいしょうびん)」》と名づけたら

ある人が宅配便をやろうと思いたち、名前を考え始めたとする。 《「大小にかかわらずお引き受けします」を売り物にしたいから 「大小便(だいしょうびん)」》と名づけたら、 「大小便(だいしょうべん)」と読まれて誰も頼みにこないような気がする。

2002-03-12 (2) 23:26:44 +0900

「寝食」は「寝ると食う」だが「立食」は「立って食う」

本文ナシ

2002-03-12 (2) 19:25:25 +0900

更新記録 --- 6 日夜のタイムスタンプのものは先ほどアップロード

しばらく書き込めないからと、 せっかくがんばって6日のうちに書いたのに……。

2002-03-12 (2) 01:17:56 +0900

「周の長さ一定の三角形のうち正三角形が面積最大」の初等幾何による証明

「周の長さ一定の三角形のうち正三角形が面積最大」の微分を使わない証明 (2002-03-06 (3) 01:49:15 +0900)》の続きである。

そこの補題3を、初等幾何だけで証明できることに気がついた。 その補題3を再掲しておく。

補題3. 底辺を固定し、残りの二辺の長さの和が一定の三角形を考える。 このとき、二辺の長さの差が小さいほど面積は大きい。

これは下の補題Bからすぐに従う。その前にもう一つ補題を用意する。

補題A. 三角形 ABC の内部に点 A' があるとき、 AB + AC > A'B + A'C である。

証明.

     ・A

      ・D
   ・
・  A'   ・
B              C
線分 BA' を A' の側に延長した半直線が辺 AC と交わる点を D とする。 BA + AC = BA + AD + DC > BD + DC = BA' + A'D + DC > BA' + A'C より結論が従う。

[証明終わり]

補題B. 線分 BC を底辺とする三角形 ABC と A'BC があり、 AB + AC = A'B + A'C であるとする。 直線 BC 上に 「BC の中点」 「A から BC に降ろした垂線の足」 「A' から BC に降ろした垂線の足」 がこの順で並んでいるとする。このとき、

i) 三角形 ABC の高さは三角形 A'BC の高さよりも大きい。

ii) AB < A'B である。

証明. i) A' から BC に降ろした垂線あるいはその延長上に点 D を BC に対し A と同じ側にとって、 「A から BC に降ろした垂線の長さ」 =「D から BC に降ろした垂線の長さ」となるようにする。

           A   D
      ・ ・


・        ・
B                C
直線 AD に関して C を対称移動して得られる点を E とする。
                 E
         ・


      A・ D・


・        ・
B                C
補題Aより BA + AE < BD + DE である。 よって AB + AC < DB + DC が成り立つ。 もしも A' のほうが D よりも上にあれば A'B + A'C > DB + DC であるから、仮定に反する。

ii) 結論を否定すると、A' は 「B を中心とする半径 BA の円の周または内部」かつ 「C を中心とする半径 CA の円の周または外部」にあることになる。 そのような位置に A' があれば垂線の足の位置に関する仮定に反することが、 図を描いてみればわかる。

[証明終わり]

三角形の等周問題と三人の子に分けたミルクを等量にする話 (2002-03-06 (3) 19:30:29 +0900)》とも合わせると、 かなり初等的に証明できたことになると言えると思う。 ただ、上の補題Bでは、「図はこのようになる」ということを証明なしに使っている。 そこをきちんとせよと言われたら、計算で求めるほうが楽かもしれない。

2002-03-12 (2) 00:26:28 +0900

上のリンク(二箇所)はいまはった。それまでは a href タグをおいていなかった。

2006-05-12 (5) 00:21:23 +0900

数学オリンピックはあるのに数学パラリンピックはないのか?

本文ナシ

2002-03-06 (3) 19:31:54 +0900

三角形の等周問題と三人の子に分けたミルクを等量にする話

「周の長さ一定の三角形のうち正三角形が面積最大」の微分を使わない証明 (2002-03-06 (3) 01:49:15 +0900)》の続きである。

最後の命題0の証明がごちゃごちゃしていたが、 実は次のような問題と同じことであった。

ある家に、三人の幼い子がいた。 ある朝、父親 --- 別に母親でも構わないが --- が、おそろいのコップにミルクを注いでやった。 ところが、量が等しくなかったので子たちは不平を言い始めた。 いったんミルク入れに全部もどしてから注ぎなおせば簡単だが、 これだと子らはミルクをとりあげられてしまうと思って泣き叫ぶ。 そこで、父親はコップからコップへミルクを移して等量にしてやろうとした。 しかし、子らは幼いなりに“ローカル”な公平意識を持っている。 つまり、

(まとめて言えば、あるコップから別のコップにミルクを移した結果、 後者のほうが前者よりもミルクが多くなると泣き叫ぶのである。)

どのようにしたら、 父親は子らに泣き叫ばれずに三人のミルクを等量にすることができるだろうか?

こういいかえると答えは簡単で、 注いだミルクの総量の三分の一よりも多くミルクのはいっているコップ (の一つ)から、 三分の一よりも少なくミルクのはいっているコップ(の一つ) にミルクを移してやればよいだけのことである。 ただし、前者のミルクの量が総量の三分の一を割らず、 後者のミルクの量が総量の三分の一を越えない範囲で、 なるべく多くのミルクを移すようにする。 この操作のあとでは少なくとも一つのコップのミルクの量はちょうど全体の三分の一になる。 あとは残りの二つのコップの間でミルクをやりとりするだけである。

三角形の問題がミルクの問題と違うのは、 三辺の長さを任意にとると三角形をなさない場合があることであるが、 ここではその問題は生じない。

2002-03-06 (3) 19:30:29 +0900

上のリンクはいまはった。それまでは a href タグをおいていなかった。

2006-05-12 (5) 00:19:55 +0900

電波時計を買うよりも必要なときに 117 に電話する方がたぶん安上がり

電波時計は 3000 円ぐらいで買えるが、 そのお金で 117 に 300 回電話できる。

すでに、クォーツ式で時刻合わせが簡単な時計を持っている場合は、 ふだん、できるときはNHKラジオの時報に合わせるようにし、 「しばらく合わせていないな」 というときだけ 117 で調べるようにする。

そうやって電話することが年に何回あるだろうか。 電波時計が壊れるまでに 300 回は電話しないのではあるまいか。 それに、電波時計には電池代もかかるのだった。 (ソーラー式もあるけれど。)

2002-03-06 (3) 01:54:07 +0900

「周の長さ一定の三角形のうち正三角形が面積最大」の微分を使わない証明

命題0. 周の長さ一定の三角形のうちで面積最大のものは正三角形である。

上の命題の証明は大学入試などにときどき出たが、 間違った証明を答えとしてあげているのを見かけたことがある。

次の補題の証明はむずかしくない。

補題1. さらに底辺を固定すれば、面積最大となるのは二等辺三角形である。

証明. 底辺を BC とする。 C を通って線分 BC に垂直な直線上に、 AC = AD となるような点 D を(C のほかに)とる。 CD は三角形 ABC の高さの二倍であるから三角形 ABC の面積を最大にするには CD を最大にすればよく、 それには BD 間の距離を最大にすればよい。 BD <= BA + AD = BA + AC であり右辺は一定であるから、 BD は三点 B, A, D が一直線上にある場合に最大となる。 それは三角形 ABC が二等辺三角形の場合である。

[証明終わり]

上の補題1からすぐに命題0が出るわけではない。

ある辺の長さがたまたま周の三分の一になっていれば、 一回だけ補題1を使って正三角形のほうが面積が大きいことがわかる。 それ以外の場合、 補題1をくりかえし使ってゆくうちに正三角形になることはない。 なぜならば、 もしも補題1を有限回使って正三角形になったとしたら、 最後の適用の直前ではある辺の長さが周の三分の一になっている。 それはその前の適用の結果であるから、 別のもうひとつの辺の長さも周の三分の一でなければならず、 その時点で正三角形であったことになるからである。 「補題1をくりかえし使ってゆくと正三角形に収束する」 というような証明が誤りであることは言うまでもあるまい。

(余談: もしも仮に「三角形」が「正三角形でない三角形」の意味だとすると 命題0は意味をなさなくなるが、補題1は意味をもつ。 ただし、証明には手直しが必要である。 変更後の三角形が正三角形になってしまうと困るが、 これは、周の長さのちょうど三分の一の長さの辺は底辺 --- 上の証明では BC --- とみなさないことにすれば回避できる。)

補題2. 周の長さ一定の二等辺三角形のうち、面積最大なのは正三角形である。

証明. 周の長さを c, 底辺の長さを x とすると、 残りの二辺の長さは (c - x)/2 である。 ピタゴラスの定理により高さは ((c - x)2/4 - x2/4)1/2 = (c2/4 - cx/2)1/2 となる。 よって面積は x(c2/4 - cx/2)1/2/2 である。 面積の二乗を y とおくと y = x2(c2/4 - cx/2)/4 = c2x2/16 - cx3/8 となり、x で微分して y' = c2x/8 - 3cx2/8 = cx(c-3x)/8 となることから、 いま考えている範囲 0 < x < 1/2 では yx = 1/3 で最大となることがわかる。

[証明終わり]

この補題2を補題1と合わせれば命題0が証明されたことになる。

補題2の証明では、三次関数の増減を調べるために微分を用いている。 これを避ける方法に、先日気がついた。

次の補題3の主張する内容は、 ダ円について学んでいればほぼ明らかである。 下の証明はそれを確かめているにすぎない。

補題3. 底辺を固定し、残りの二辺の長さの和が一定の三角形を考える。 このとき、二辺の長さの差が小さいほど面積は大きい。

証明. 底辺の長さを 1 とし、頂点から底辺(あるいはその延長) に下ろした垂線の足と底辺の中点との距離を x とする。 x >= 0 である。 高さを h とすると二辺の長さは ((1/2±x)2 + h2)1/2 となる。

よって ((1/2 + x)2 + h2)1/2 + ((1/2 - x)2 + h2)1/2 = c (一定)が成り立つ。 左辺の第二項を右辺に移項し、両辺を二乗すると (1/2 + x)2 + h2 = c2 + (1/2 - x)2 + h2 - 2c((1/2 - x)2 + h2)1/2 となり、 2x - c2 = - 2c((1/2 - x)2 + h2)1/2 となる。 両辺を二乗して 4x2 - 4c2x + c4 = 4c2((1/2 - x)2 + h2) が得られ、これを変形して 4x2 - 4c2x + c4 = c2 - 4c2x + 4c2x2 + 4c2h2 が、さらに h2 = (c-2 - 1)x2 + (c2 - 1)/4 が得られる。 c は 1 より大きいから x2 の係数は負である。 よって、x が大きいほど高さ h は小さくなる。

この式を長いほうの辺の長さの式に代入すると ((1/2 + x)2 + (c-2 - 1)x2 + (c2 - 1)/4)1/2 が得られる。 二乗すると (1/2 + x)2 + (c-2 - 1)x2 + (c2 - 1)/4 = c-2x2 + x + c2 となる。 x2, x の係数が正だから x >= 0 の範囲で単調増加。 よって、長いほうの辺は x が大きいほど長くなる。

上の二つの段落の結論を合わせると、 長いほうの辺が長いほど高さは小さくなり、面積も小さくなる。

[証明終わり]

命題0の証明. 三辺の長さ a, b, c の三角形の面積を A(a, b, c) と書こう。 a + b + c = 3s とおく。

a <= b <= c または a >= b >= c と仮定する。

[証明終わり]

付1. 上の命題0の証明はごちゃごちゃしているように見えるかもしれないが、 アイディアそのものは単純である。

付2. 上の補題3を初等幾何だけで証明できたら、 命題0が初等幾何だけで証明できたことになる。 できるだろうか?

付3. xyz-空間で x > 0, y > 0, z > 0 かつ x + y + z = 1 を満たす点全体は正三角形をなす。 そのうちで、三辺の長さが x, y, z である三角形が存在するのは 各辺の中点を結んでできる小さな正三角形の内部であることが、 「1 - z = x + y > z より z < 1/2」などからわかる。 x = y = z = 1/3 の正三角形はその小正三角形の中心にあたる。 小正三角形の中で、 各辺に平行な線分の上では、中点に向かうほど面積は大きくなる、 というのが補題3の内容であった。 そのような線分で、中点が小正三角形の中心であるものは三本ある。 それらを真上から見て図に描けば次のようになっている。

+
|\
| \
|  \
|   \
|    \
|     \
|      \
|       \
+−−+−−+−−+
|\  \ |  |\
| \  \|  | \
|  +−−+−−+  \
|   \ |\ |   \
|    \| \|    \
|     +  +     \
|      \ |      \
|       \|       \
+−−−−−−−−+−−−−−−−−+
上の命題0の証明は、次のようなことをしていることになる。 小正三角形の内部に任意の点をとる。 そこから小正三角形のどれかの辺に平行な線分に沿って、 線分の中点へ向かって進む。 そして、三本の線分のどれかにぶつかったところで止まる。 そこからは三本の線分に沿って中心へ向かう。

最初に線分の中点へ向かうやりかたは(たいていの場所で)二通りある。 上の図で正方形に見えているところでは左に向かう方法と下に向かう方法。 その左下の直角二等辺三角形の中では上に向かう方法と右に向かう方法である。

線分の中点まで進み、また別の線分の中点まで進む、 としているといつまで経っても中心に到達できない。

2002-03-06 (3) 01:49:15 +0900

電波時計>最近、どのくらい修正したかの履歴を保持して考慮にいれたら?

例えば、 一時間おきの修正でいままで 0.5 秒も修正されてこなかったのが急に数秒ずれたら、 これは不正な電波を受信してしまったとかの理由が考えられる。 その場合は修正せずにユーザに注意をうながす電波時計とか……。

2002-03-05 (2) 02:01:22 +0900

Twinings 紅茶>いろいろな種類に SUPREME と FINE があるが Vintage は別

例えば Darjeeling にはただの Darjeeling のほかに SUPREME Darjeeling と FINE Darjeeling がある。 これらは Darjeeling には違いないが等級が違う、ということらしい。 ほかの種類にも SUPREME ... と FINE ... がある。

Darjeeling には Vintage Darjeeling というのもあるが、 これはこれで一まとまりの名前のようだ。 それがなにより証拠には、 SUPREME Vintage Darjeeling というのが売られている。

2002-03-05 (2) 01:53:23 +0900

意味なし>色で、Twinings の紅茶と営団地下鉄を勝手に結びつける

ダージリンは半蔵門線、 クィーンマリーは東西線、 アールグレイが銀座線、などなど。

2002-03-05 (2) 01:46:47 +0900

「オレンジペコが銀座線」の誤りだったか。

2004-04-25 (0) 02:12:07 +0900

電波時計>なぜ毎時1分に電波を受信しようとするのか?

先日買ったのはそうなっていた。これだと、 ラジオの時報と合わせられる毎時0分に誤差が最大に近くなるであろうから、 ユーザに電波を受信しないときの精度を正しく知ってもらうにはいいわけだが、 ごまかそうと思うなら毎時0分の直前に時刻を修正すれば、 ユーザはものすごく正確だと思い込むかもしれない。

2002-03-05 (2) 01:43:27 +0900

システム手帳>ペンそのものがブックマークになっていたら便利では?

ペン差しからペンを抜き、ブックマークのところを開けてメモをとるのが普通だが、 ペンがブックマークになっていれば開きながらペンを抜くことができるのではあるまいか。 金具にはまるような形のプラスチックの部品をペンに取りつけておけばよい。 ペンでリフィルが傷むかもしれないが、メモ用なら構わないだろう。

2002-03-05 (2) 01:38:32 +0900

「スリッパ」を「当たりッパ」というなら「かすり」は「か当たり」?

縁起をかつぐので「スリッパ」と言わず「当たりッパ」と呼ぶ、 というのなら「かすり」を「か当たり」と読んでもよさそうなものだ、 と思った。

2002-03-05 (2) 01:35:59 +0900

「子」で終わる現代の日本人名はほとんど女性だが -ko は「彦」もありえる

生半可な知識で、あるいは日本人から適当なことを教えられて、 「彦」で終わる名前の男性を女性と思い込んでいる外国人がいるかもしれない。

2002-03-05 (2) 01:33:29 +0900

携帯電話がほとんどになると「受話器」は死語になるだろうか?

本文ナシ

2002-03-05 (2) 01:30:23 +0900

フォントを大きく太くしてみたらキータッチが柔らかいように感じた

ちょっと前、職場の PC の telnet のフォントを大きくて太い字に変えてみた。 そうしたら、やわらかい鉛筆かフェルトペンで書いているような感じになり、 キーボードのタッチがいつもよりも柔らかいような気がした。

2002-03-05 (2) 01:24:19 +0900

電波時計>ほかのタイムゾーンに合わせておくことはできない?

電波受信を完全にオフにできるようになっていないと、 例えば UTC に合わせてもそのうち JST になってしまう。

ガラダマのようにシールドして電波を遮断してしまえばいいか。

2002-03-05 (2) 01:21:10 +0900

意味なし>「ハロー注意報」/ 子供たちがよってきて「ハロー」とうるさく…

…なりそうなので注意、ってこともある種の外国人にはあると思う。

2002-03-05 (2) 01:18:46 +0900

電波時計>日本国内専用ということで日本語表記でないものは作らない?

先日買ったのは曜日は漢字で表示される。 電波が届くのは(ほぼ)日本国内だけだから英語(など) に切り替わるようにしなかったのかもしれないが、漢字が読めない人 --- 主として外国人 --- が日本国内で使うことは考えなくていいものだろうか。 しばらく暮らすうちによく使われる漢字は覚えるだろうけれど。

2002-03-05 (2) 01:14:34 +0900

岩波文庫「王朝物語秀歌選(下)」の「カバーの写真」とは?

323 ページの注に 「桂切(カバーの写真参照)の所載歌」とあるが、 「カバー」とは何を指すのであろうか? 私が持っているのは第 1 刷であり、 カバーがかかっていた。 そしてカバーには昔の写本の一ページらしきものの写真が載っている。 しかし、重版の際に同じカバーがかかるとは限るまい。 これでいいんだろうか。

2002-03-05 (2) 01:10:19 +0900

意味なし>「キーパンチャー」→「穿孔者」→「先行者」

いまだに“入力する人”を「キーパンチャー」と呼ぶ人がいると知って、ふと。

思わず「キーハンター」のテーマを口ずさんでしまう私。

2002-03-05 (2) 00:58:32 +0900

刻々と色の変わってゆくアナログ時計の文字盤の一案

一日に短針が二回り、 というのは二重被覆空間のようなものなのかもしれない (2002-03-04 (1) 22:20:16 +0900)》の続き。 それを活かした時計の表示は、針式では無理かもしれないが、 コンピュータの画面上でなら可能だ。 一つの案を考えてみた。

まず、各時刻に色を決める。 下では機械的に割り振ったので、必ずしもイメージに合っていない。 その上で、例えば左上は 21 時における文字盤だが、 その前後6時間を示すことにすると、 「3時」の位置で色がくい違うことになる。 その切れ目は時間が経つにつれて動いてゆき、 文字盤の色も変わってゆく。

21 時
  23          
   
22
   
   
21
   
   
20 16
   
  19     18     17  
0 時
  23          
   
22
   
   
21
   
   
20
   
  19          
3 時
  23          
   
22
   
   
   
   
   
           
18 時
  23         13  
   
22 14
   
   
21 15
   
   
20 16
   
  19     18     17  
6 時
  11          
   
10
   
   
   
   
   
           
15 時
  11     12     13  
   
10 14
   
   
15
   
   
20 16
   
  19     18     17  
12 時
  11     12     13  
   
10 14
   
   
15
   
   
16
   
          17  
9 時
  11     12     13  
   
10 14
   
   
   
   
   
           

2002-03-04 (1) 22:25:51 +0900

上のリンクはいまはった。それまでは a href タグをおいていなかった。

2006-05-12 (5) 00:29:12 +0900


すのもの Sunomono