実数体の構成，または実数体の定義を， Dedekind の切断に基きながらすばやく行なう方法を三種類考えた。
Rapid Construction of Real Numbers by Half-Cuts （トップページから行けますが，ここからも行けます。 2012 年十二月に，前の版から，少々変更しました。）
Dedekind の切断にならうが， 有理数全体ではなく，正の有理数の切断を考える。 さらに，上組は忘れて，下組だけを考える。 それを「半切断」と呼ぶ。
これらの集合が，正の実数の集合になる。 正の有理数は，「それ未満の正の有理数からなる集合」として， この集合に埋め込める。
和・積は， 二つの半切断の要素すべてにわたった和・積のなす集合と定義できる。。
完備性，すなわち，空でなく有界な実数の部分集合には上限がある， の証明も簡単にできる。
正の実数全体から実数全体を構成するのは， 自然数全体の集合から整数全体の集合を構成し， 整数全体の集合から有理数体を構成するのとまったく同じであるので省略。
英文の pdf ファイルで，Ａ４判２ページ。
Quick Construction of Real Numbers by Half-Cuts （トップページから行けますが，ここからも行けます。）
「有理数 vs 無理数」になじみの薄い人向けである。 文系向けの講義でも，たとえば π について， 「それより小さい有限小数をみんな集めてくる」と言えば， わかってもらえるかもしれない。 （3, 3.14, 3.1415, ... という π の有限小数近似も含まれている。）
ただし， 「c, r, s が正の有限小数で c < rs を満たすとき， r' < r, s' < s であり c = r's' を満たす有限小数 r', s' が存在する」の証明が初学者向けではない。 これを認めてしまえば，わかりやすいと思う。
完備性の証明以降は上と同じなので省略してある。
英文の pdf ファイルで，Ａ４判２ページ。
これを用いた，授業で使えそうな説明のしかたが頭に浮かんだ。 π = 3.141592... はみんな知っている。 これより小さい有限小数の集合 A を考える。
このようにして，集合 A ははっきり決まる。 ここで，集合 A から π が復元できることを見よう。
この A のような集合を正の実数としてみよう。---
Fast Construction of Real Numbers by Half-Cuts （トップページから行けますが，ここからも行けます。）
上の「十進」を「二進」に置きかえると，うまくゆかない。 二進の有限小数で逆数も二進の有限小数であるものは 2 のベキしかないからである。 しかし。半切断の和・積の定義を変えて， 「和（積）として書けているものより小さいものは和（積）に属す」 とすると，正の有理数の部分集合で， 加法・乗法に関して閉じておりかつ稠密なものを用いて同様の構成ができる。 その代わり，和・積についての性質の証明が変わってくる。 （「自明」で済ませたものが自明でなくなる。）
なお，正の有理数，正の有限十進小数の場合も，このやり方は通用する。
完備性の証明以降は上と同じなので省略してある。
英文の pdf ファイルで，Ａ４判２ページ。