金沢大学の，文系向け共通教育科目（選択科目，９０分×約１５回）で， 二三度講義した内容を再構築したものである。 理系の一年生に対しては， 同値関係・同値類に慣れるための軽い読み物になっていると思う。 実数体の構成についても軽くふれてある。
（0 を含む）自然数，およびその演算，それらの基本的な性質は仮定している。
整数全体の集合を，数学の慣習にしたがって Z と書きます。 Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } です。 正の整数 m を一つ選び，固定します。
このとき，“数”の集合として { 0, 1, 2, ..., m-1 } を考え，これを Z/m と書きます。 （注：ふつうは，数の上に横棒をひきますが， （いわゆる）ホームページでの便宜のため，ここでは下に線をひきました。）
そして，次のようにたし算とかけ算とを定義します。
（注：かけ算の記号「×」の代わりに，ここでは「*」を用います。）
m が 6 の場合と 7 の場合について，たし算・かけ算の表を書いてみましょう。
|
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m が 7 のとき， かけ算の表の各行・各列には 0 から m-1 が一つずつ現れていますが， m が 6 のときはそうではありません。 なぜでしょう？ 興味のある人は考えてみてください。 m が素数かどうかが関係しています。
さて，ここでかけ算の結合法則について考えてみましょう。 整数については， (a * b) * c = a * (b * c) が成り立つことを知っています。 Z/m ではどうでしょうか？
m = 7 とし，a = 4, b = 5, c = 6 で試してみます。
となって，この場合には結合法則が成り立っていることがわかります。
では，どんな m に対しても，どんな a, b, c に対しても，結合法則が成り立つのでしょうか？
これについて，次のような“証明”をする人がいるかもしれません。 「4 * 5 を 6 と“変形”するからわかりにくいんだ。 4 * 5 は 20 と書く。 これに 6 をかけると 120 となる。 ここで最後に，120 を 7 で割ってあまりが 1, よって 120 = 1 とする。こう考えれば，
となって，結果が一致するのは明らかだ」。
でも，20 や 120 は，定義されていません。 それでも，なんとか，この“証明”を正当化できないでしょうか？
（注：「正当化」というと，正当でないものを無理やりに正当だと言い張ること， というニュアンスがあるかもしれませんが，数学ではそうではありません。）
整数 Z 全体を考えます。正の整数 m を一つ選び，固定します。
二つの整数 a, b に対し， 「a 〜 b」，その否定「a !〜 b」を，次のように決めます。 （ふつうは，「a !〜 b」の代わりに， 「〜」に斜めの線を「≠」のようにひいた記号を使いますが， （いわゆる）ホームページの便宜のため，この記号を使いました。）
定義 2.1 a - b が m の倍数のとき a 〜 b とし，そうでないとき a !〜 b とする。 すなわち，整数 k が存在して a - b = km となるとき，a 〜 b とする。
この「〜」は，次の三つの条件をみたします。
命題 2.2
証明
[Q.E.D.]
定義 3.1 ある集合の元 a, b に対し， a 〜 b か a !〜 b かが決まっていて，次の三つの条件をみたすとき， 「〜」を同値関係という。
定義 2.1 で決めた「〜」は同値関係です。
「a と b は等しい」という関係も同値関係です。 同値関係は，“等しい”と似た関係，といえます。
同値関係があったとき，次のように，要素を同値類に分けることができます。
思考実験 3.2 あなたが，おじさん・おばさんの家へ，仕事の手伝いにいったとします。 頼まれた仕事は，次のようなものです。
“あるもの”--- なんでもかまわない --- が，数百個あります。 おじさん・おばさんは，「『〜』チェッカー」なる機械を持っています。 これは，二つの“もの”a と b をかざすと， 「a 〜 b」か「a !〜 b」かを表示する機械です。 この機械を使って， これらの“もの”を，次の二つの条件を満たすようにトレイに分けるのが，仕事です。
ただし，この「〜」は同値関係であり，トレイは十分にたくさんあるとします。
例で考えてみましょう。
一つめの p をとってきたとします。トレイを一つとって，それに入れます。
| p |
二つめの q をとってきたとします。チェッカーによると，p 〜 q でした。 そこで，q は p のはいっているトレイに入れます。
| p q |
三つめの r をとってきました。r !〜 p でした。 そこで，新しいトレイをもってきてそこに r を入れるまえに，少し考えました。 「もしかして，r 〜 q ということはないだろうか？」 それはありえません。 もしも r 〜 q なら，p 〜 q だったことと， 同値関係の条件を合わせて考えることにより，r 〜 p となるからです。
| p q | r |
四つめの s をとってきました。s 〜 p でした s を p のはいっているトレイに入れるまえに，少し考えました。 「もしかして，s !〜 q ということはないだろうか？」 それはありえません。 p 〜 q はすでにわかっています。「〜」が同値関係であることもわかっています。 すると，s 〜 q がわかります。
| p q s | r |
すこし飛ばして，次のような状態になったとします。
| p q s | r t u | v |
次の x をとってきたとします。 次のようにすればよいことが，わかるでしょう。
これで無事，おじさん・おばさんに頼まれた仕事を終えることができました。---
上の例では，“もの”は有限個でしたが， 数学では，無限個あっても，上の操作ができる，という約束です。
定義 3.3 p がはいっているトレイを [p] と書く。
上の思考実験では q も [p] にはいっているので， [p] を [q] と書いてもよいことになります。 p 〜 q ならば [p] = [q] です。
数学のことばづかいでは，トレイを同値類といいます。
定義 4.1 整数全体の集合 Z を， 定義 2.1 で定めた同値関係「〜」でトレイに分けたものを Z/m とします。
おさらいも兼ねて，m = 7 とし，Z をトレイに分けてみましょう。 0, 1, 2, 3, ... の順にとりだしたとします。
| 14 7 0 |
… 8 1 |
… 9 2 |
… 10 3 |
… 11 4 |
… 12 5 |
… 13 6 |
次に，-1, -2, -3, ... を加えます。
| 14 7 0 -7 … |
… 8 1 -6 … |
… 9 2 -5 … |
… 10 3 -4 … |
… 11 4 -3 … |
… 12 5 -2 -9 |
… 13 6 -1 -8 |
「要するに，『7 の倍数』，『7 の倍数 + 1』，『7 の倍数 + 2』， ……と分けたんだろう？」 と言われればそれまでですが，ここでは 「差が 7 で割り切れるものは同じトレイに入れる」としたもの，と見てください。
これらのトレイは順に [0], [1], [2], ..., [6] と名づけることができます。 しかし，これが唯一の名前ではありません。 [4] を [-3] と呼んでもよいし，[5] を [-2] と呼んでも構いません。
整数の間にはたし算・かけ算が定義されています。 数を，カードに数が書かれたもの --- 小学校一年生の算数の時間に使ったようなもの --- と考えましょう。 「1」と書かれたカードと「2」と書かれたカードの間に 「+」という記号が書かれ， 先生が「これはいくつになりますか？」と尋ねたら 「3」というカードをとりだして答える，といった具合です。
Z/m の元の間にたし算・かけ算を定義するとは， カードの集まりである同値類（トレイ）の間にたし算・かけ算を定義することにほかなりません。 カードの間にはたし算・かけ算が定義されていますが， トレイの間のたし算・かけ算は，新たに定義しなければなりません。
定義 4.2
証明……
「おや？ 定義なのになぜ証明がいるの？」と思った人もいるでしょう。
それは，こういう理由からです。 [a] には，別の名前 [a'] があります。[b] についても同様です。 m = 7 とすると， [3] には [-4] という名前もあります。 [5] には [-2] という名前もあります。
結果は別の名前になりましたが，8 - (-6) = 14 は 7 の倍数ですから， [8] と [-6] は同じトレイについた別の名前， すなわち [8] = [-6] となり，矛盾はしていません。 こういうことを，すべての場合について確かめなければなりません。 このことを，「定義 4.2 が well-defined であることを示す」 といいます。well-defined にはうまい訳語がありません。 「よく定義されている」，「定義になっている」，というような意味です。
次の命題を示せばよいことになります。
命題 4.3 上の定義は well-defined である。すなわち，次が成り立つ。
証明 a1 - a2 = km, b1 - b2 = lm と書ける。
[Q.E.D.]
いまや，§1 で紹介した証明を正当化することができます。
よって等しい，とすればよいのです。
すべての演算が well-defined になるわけではありません。
例 4.4 Z/3 で， [a][b] を [ab] と定義するのは well-defined ではない。 実際， [0] = [3] だが，(-1)0 = 1, (-1)3 = -1 となり， [1] ≠ [-1] である。
節の見出しとしては「自然数全体の集合 N」としましたが， 実際には，自然数の集合に 0 を加えたもの N0 を使います。 N = { 1, 2, 3, ... }, N0 = { 0, 1, 2, 3, ... } です。
この節では， 0 および自然数を既知とし，整数は未知として，整数全体の集合を構成します。 0 および自然数の計算には十分に慣れていて，文字式も扱えて， 論理的にものごとを考えることができるが負の数を知らない， という人を想像するのはむずしいかもしれません。 もしそうなら，そういう宇宙人を想定して，その宇宙人に整数を教えるには， と考えてみてください。
次の，0 および自然数の基本的な性質は認めます。
0 および自然数を認めて負の整数を導入するとなると， 「いままでの 2 を +2 とし，それに対して -2 というものを考える」， というアイディアが浮かびます。 こうやって定義したうえで，たし算については，次のように定義します。
ここで，四通りに場合分けをしました。 第一と第四の式では 5 と 3 を加えましたが， 第二と第三の式では 5 - 3 を計算しています。
この定義で，整数に関するたし算の結合法則 (a + b) + c = a + (b + c) を証明できるでしょうか？ もちろん， できるはずです。しかし，場合分けが多くなって大変でしょう。 ここでも，次のように考えて，同値関係・同値類の考え方が使えます。
0 または自然数の組 (a, b) 全体を考えます。 組 (a, b) は，実は整数 a - b のこと，とするつもりです。 ただし，宇宙人は結果が負になる引き算を知りませんので，こうは言えません。 また，組 (a, b) と (a', b') が異なっていても， 同じ整数をあらわすことがあります。 a - b = a' - b' の場合です。ここでも，宇宙人にはこうは言えません。 しかし，ここで一工夫すると，「a + b' = a' + b の場合」と言うことができます。 そこで，こう考えます。
定義 5.1 0 または自然数の組 (a, b) 全体を考える。 二つの組 (a, b), (a', b') に対し (a, b) 〜 (a', b') であるとは， a + b' = a' + b であることをいう。
命題 5.2 上で定義した関係「〜」は同値関係である。
証明 三つの条件を確かめればよい。
[Q.E.D.]
（注：ここで，0 および自然数がみたす， 「a + x = b + x ならば a = b」を使いました。）
これで，同値類 [(a, b)] を考えることができました。 次に，たし算とかけ算を定義します。
私たちのもくろみでは， (a, b) は a - b のこと，(c, d) は c - d のことですから， (a, b) + (c, d) は (a + c) - (b + d) のことです。 (a, b) * (c, d) は (a - b) * (c - d) = ac -ad - bc + bd のことです。 これらを踏まえて，次のように定義します。
定義 5.3 次のように定義する。
一つめはともかく，二つめは複雑ですが， 目の前にいる宇宙人はこれを理解するものとします。
命題 5.4 上の定義は well-defined である。
証明 (a, b) 〜 (a', b') と仮定すると a + b' = a' + b, (c, d) 〜 (c', d') と仮定すると c + d' = c' + d である。
の計算結果が同じになればよい。
たし算について。
ので，(a + c) + (b' + d') = (a' + c') + (b + d) を言えばよい。 上の二つの仮定の式を辺々加えると a + b' + c + d' = a' + b + c' + d となる。 これで言えた。
かけ算について。
計算を楽にするため，
に間にはいってもらう。すなわち，甲さんと丙さんが同じ結果を， 丙さんと乙さんが同じ結果を得ればよい。 証明は前者についてだけおこなう。後者もまったく同様である。
ので ac + bd + a'd + b'c = a'c + b'd + ad + bc を言えばよい。 c ≥ d と仮定し，a + b' = a' + b の両辺に c - d をかけると ac - ad + b'c - b'd = a'c - a'd + bc - bd となり，移項して ac + bd + a'd + b'c = a'c + b'd + ad + bc を得る。 これは求めていた式である， この計算の際，負の数は出てこないことに注意。 c < d のときは両辺に d - c をかければよい。 [Q.E.D.]
（かけ算についての別証（その１）： 「ac + bd + a'd + b'c = a'c + b'd + ad + bc を言えばよい」までは同じ。 a + b' = a' + b の両辺に c をかけて ac + b'c = a'c + bc, a' + b = a + b' の両辺に d をかけて a'd + bd = ad + b'd となる。 辺々加えると求める式を得る。 [Q.E.D.]）
（かけ算についての別証（その２）：丙さんを登場させないで証明する。 仮定より次の三つの式がなりたつ。
展開する。
三つの式を，辺々たす。
両辺で同じものを消す。
並べかえてカッコでくくる。
[Q.E.D.]）
0 または自然数 n は，[(n, 0)] と思うことにします。 このあと，次のことを確かめる必要があります。どちらも容易です。
これで，N0 の拡張として Z が得られました。
Z でのたし算の結合法則は，次のように簡単に示せます。
[(a, b)] に対し -[(a, b)] とは [(b, a)] のこととします。 -[(n, 0)] = [(0, n)] だから，-n という記法が導入されます。
ほかに，Z の元の間に大小関係が定義され，それが N0 の大小関係の拡張になっていることを見る必要があります。
なお，ここで使った，(a, b) は a - b のこと，という見方は， 中学一年生に負の数を導入するときに役に立つ，という話を読んだことがあります。 トランプの札で，黒と赤のどちらかを +1 点，他方を -1 点と決め， カードのやり取りをする架空のゲームを考えます。 正の数しか知らなかったときは，カードを取られたら点が下がると決まっていましたが， -1 点のカードを取られるとかえって点が上がる， などという体験を通じて，負の数の演算に慣れさせる，というのです。
有理数とは，負の数もこめた，分数のことです。 すなわち，整数 a と，0 でない整数 b に対し，a/b と書ける数のことです。
前の節で，整数はトレイにはいった 0 または自然数の組，として完成させましたが， ここではもうそのことは忘れ，整数については普通に考えます。
小学校で習ったように分数の計算をする際， 途中で既約分数に約分しないと正しい答えに至らないのか， それとも，既約分数でないまま計算しても同じ答えに至るのか， という疑問が生じます。 この節では，この疑問に答えることができるでしょう。 ただ，分数の場合は，実体があります。 １リットル入りの容器に 1/3 の水を入れたのと， 2/6 の水を入れたのとではまったく同じです。 だから，そういう心配はいらない，とも考えられるでしょう。 このあたりのことはよくわかりません。 とりあえず，前節にならって，定義を始めましょう。
組 (a, b) は a/b のこと，とするつもりです。
定義 6.1 整数 a と，0 でない整数 b の組 (a, b) 全体を考える。 二つの組 (a, b), (a', b') に対し，(a, b) 〜 (a', b') であるとは， ab' = a'b であることをいう。
命題 6.2 上で定義した関係「〜」は同値関係である。
証明 三つの条件を確かめればよい。
[Q.E.D.]
（注：ここで，整数がみたす， 「0 でない整数 x に対し ax = bx ならば a = b」を使いました。）
定義 6.3 次のように定義する。
命題 6.4 上の定義は well-defined である。
証明 (a, b) 〜 (a', b') と仮定すると ab' = a'b, (c, d) 〜 (c', d') と仮定すると cd' = c'd である。
たし算について。 (ad + bc)b'd' = (a'd' + b'c')bd を言えばよい。 ab' = a'b より ab'dd' = a'bdd', cd' = c'd より bb'cd' = bb'c'd である。 これらを足せばよい。
かけ算について。 仮定の式を辺々かけ合わせると ab'cd' = a'bc'd であるから， (ac)(b'd') = (a'c')(bc) を得る。これが求める式である。 [Q.E.D.]
以下，前節と同じようなことを確かめることになりますが，ここでは省略します。
有理数全体の集合 Q の特徴として， 稠密（ちゅうみつ）であることがあげられます。 これは，任意の有理数 a, b に対し，a < b であるならば a < c < b となる有理数があることを言います。 c = (a + b) / 2 とすればよいのです。
これは，整数全体の集合 Z にはなかった性質です。 このため，有理数は，整数と異なり，“びっしり”ある，という感じです。
有限集合 X と Y との元の数が同じであるとは， X の元と Y の元と間に一対一の対応がつくことです。 これを無限集合にまで拡張しましょう。
定義 7.1 集合 X と Y の濃度が等しいとは， X の元と Y の元と間に一対一の対応がつくことをいう。
すると，一見，奇妙なことが起こります。 自然数全体の集合 N と正の偶数全体の集合を考えると， 前者は後者の倍だけあるように思えます。 しかし，一対一の対応がつくのです。
| 1 | ↔ | 2 |
| 2 | ↔ | 4 |
| 3 | ↔ | 6 |
| 4 | ↔ | 8 |
| : | ↔ | : |
| : | : |
有限集合であれば右側の偶数のほうが先に尽きてしまいますが， どちらも無限にあるのですから，これで一対一の対応がつきます。 自然数全体の集合 N と正の偶数全体の集合の濃度は同じです。
同様に，整数全体の集合 Z も，自然数全体の集合 N と同じ濃度を持ちます。
| 1 | ↔ | 0 |
| 2 | ↔ | 1 |
| 3 | ↔ | -1 |
| 4 | ↔ | 2 |
| 5 | ↔ | -2 |
| 6 | ↔ | 3 |
| 7 | ↔ | -3 |
| : | ↔ | : |
| : | : |
といった具合です。
次に，有理数全体の集合 Q の濃度を考えましょう。
整数は，点が一列に並んでいるイメージです。
... . . . . . . . , , , ...
有理数は，分子と分母が整数ですから， p/q に平面の点 (p, q) を対応させることにより， 平面上に並んだ格子点（x 座標も y 座標も整数である点）のようなイメージです。
: : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : :
... . . . . . . . . . . . ...
... . . . . . . . . . . . ...
... . . . . . . . . . . . ...
... . . . . . . . . . . . ...
... . . . . . . . . . . . ...
... . . . . . . . . . . . ...
... . . . . . . . . . . . ...
... . . . . . . . . . . . ...
... . . . . . . . . . . . ...
... . . . . . . . . . . . ...
... . . . . . . . . . . . ...
: : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : :
そう言ってしまうと，少しウソが混じっています。 分母は 0 ではありませんから，(n, 0) には有理数は対応しません。 1/3 = 2/6 ですから，(1, 3) と (2, 6) には同じ有理数が対応します。 既約分数に限ると決めれば，(2, 6) には有理数は対応しないことになります。
でも，とにかく，整数よりはたくさんある，というイメージです。
ところが，有理数全体の集合と，自然数全体の集合との間に，一対一対応がつくのです。
| … | … | ← | • | ||||||||
| ↑ | |||||||||||
| • | ← | • | ← | • | ← | • | ← | • | • | ||
| ↓ | ↑ | ↑ | |||||||||
| • | • | ← | • | ← | • | • | • | ||||
| ↓ | ↓ | ↑ | ↑ | ↑ | |||||||
| • | • | O | → | • | • | • | |||||
| ↓ | ↓ | ↑ | ↑ | ||||||||
| • | • | → | • | → | • | → | • | • | |||
| ↓ | ↑ | ||||||||||
| • | → | • | → | • | → | • | → | • | → | • |
原点（上の図では O で示しました）から出発し， 格子点の上を，矢印のような順でたどってゆきます。
こんなふうに進みます。 対応が式で書けないので，なんとなく不安に思うかもしれませんが， これで対応がついています。それは，次のような理由からです。
次に，対角線論法について説明します。 いま，1000 桁の数が 1000 個，縦に並んでいるとします。 それを見せられて，ただちに， それら 1000 個の数のどれとも違う 1000 桁の数を言いなさい， と言われたとします。 1000 桁の数はたくさんありますから，適当にいえば， まず含まれていません。でも，確実にいうにはどうしたらよいでしょう？
簡単にするため，5 桁の数が 5 個，で説明します。 （一番上の「***」の行はないと思って見てください。 （いわゆる）ホームページの都合です。）
| *** | *** | *** | *** | *** |
| 4 | 4 | 2 | 9 | 4 |
| 5 | 8 | 9 | 8 | 6 |
| 1 | 3 | 1 | 3 | 9 |
| 9 | 2 | 5 | 2 | 4 |
| 8 | 5 | 5 | 1 | 5 |
この場合，一目で 10000 が含まれていないことがわかりますから， そう答えればよいのですが， 一目では見切れないほど大きな場合だと思って考えましょう。
左上から右下への対角線を考えます。 そこの数には星印をつけました。
| *4* | 4 | 2 | 9 | 4 |
| 5 | *8* | 9 | 8 | 6 |
| 1 | 3 | *1* | 3 | 9 |
| 9 | 2 | 5 | *2* | 4 |
| 8 | 5 | 5 | 1 | *5* |
これを左上から見ていって， 「偶数なら 1, 奇数なら 2」と読み替えながら言えばよいのです。 この例では，11212 となります。 この数は，上から何行めの数と比べても，一致することがありません。 なぜなら，上から n 行めの数と比べる場合，上から n 桁めを比べれば， 上の読み替え規則から，必ず異なっています。
実数全体の集合 R はまだ構成していませんが， 実数は無限小数で表される，ということは知っているでしょう。 これを利用して， 0 以上 1 未満の実数全体の集合と， 自然数全体の集合 N との間には一対一対応がつかないことを証明しましょう。 （0.25 のような有限小数で表される数には， 0.24999... のような，9 が無限に続く形の表示もありますが， どちらかを採用し，他方は捨てる，としておきます。）
もしも仮に一対一対応がついたとします。 0 以上 1 未満の実数は，1 番め，2 番め，3 番め，……と並ぶはずです。 小数点以下を並べます。 たとえばと並んだとすると，次のような表を書きます。 （実は，上の数値は，一つ前の図と同じにしてあります。）
| *** | * | *** | *** | *** | *** | *** | *** |
| 1 | . | 4 | 4 | 2 | 9 | 4 | … |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | . | 5 | 8 | 9 | 8 | 6 | … |
| 3 | . | 1 | 3 | 1 | 3 | 9 | … |
| 4 | . | 9 | 2 | 5 | 2 | 4 | … |
| 5 | . | 8 | 5 | 5 | 1 | 5 | … |
| : | . | : | : | : | : | : | : |
上と同じように，対角線に星印をつけます。
| *** | * | *** | *** | *** | *** | *** | *** |
| 1 | . | *4* | 4 | 2 | 9 | 4 | … |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | . | 5 | *8* | 9 | 8 | 6 | … |
| 3 | . | 1 | 3 | *1* | 3 | 9 | … |
| 4 | . | 9 | 2 | 5 | *2* | 4 | … |
| 5 | . | 8 | 5 | 5 | 1 | *5* | … |
| : | . | : | : | : | : | : | : |
そして，上と同じように「偶数なら 1, 奇数なら 2」と読み替えます。 この例では 0.11212... となります。 この無限小数は，この表にはありません。 もしも n 番めに現れていたら，小数点以下第 n 位を比べることにより， 矛盾が生じます。
（ここで，「もしそういう数が見つかったら，それを 1 番めに入れ， 以下，一つずつ繰り下げてゆけばよいではないか」という反論をときどき見かけます。 そうしたら，また新たに，表にない無限小数が見つかります。 矛盾が生じた，という時点で，議論は打ち切ってよいのです。）
このように，0 以上 1 未満の実数全体でも自然数全体の集合 N よりも濃度が大きいのですから， 実数全体の集合 R は自然数全体の集合 N よりも大きな濃度を持ちます。
このため， 有理数全体の集合 Q から実数全体の集合 R を構成するのには， やや困難が伴います。
実数全体の集合 R を構成するには，いろいろな方法があります。 ここでは，最も簡単（なものの一つ）と思われる方法で， 正の実数全体の集合を構成します。
実数について，私たちはいくつかのことを知っています。 たとえば，√2 は有理数ではない実数です。 この数の存在を認めると， 「この数よりは小さい正の有理数の集合 A」が考えられます。
この集合 A は，次の性質を持ちます。
性質 8.1
実は，正の有理数からなる部分集合がこの性質をみたすとき， それを正の実数とみなすことができるのです。
定義 8.2 正の有理数からなる集合 A が性質 8.1 をみたすとき， A を半切断とよぶ。
この半切断は，Dedekind の「切断」にならった名称です。 半切断の全体が，正の実数全体になることがわかります。
定義 8.3 A, B を二つの半切断とする。 A ⊂ B のとき，A ≤ B と定義する。 A ≤ B かつ A ≠ B のとき，A < B と定義する。
補題 8.4 A, B を二つの半切断とするとき，次の三つのうちのどれか一つがなりたつ。
証明 二つ以上が両立しないことは明らかである。 A < B でも A = B でもないとする。 定義から，ある正の有理数 r が存在して r ∈ A かつ r ∉ B である。
この二つから，x ∈ B ならば x ∈ A がなりたつ。 よって B ⊃ A であり，B > A である。 [Q.E.D.]
このように，証明には決してむずかしいことは使わないのですが， 性質 8.1 にもとづいて，じっくり考える必要があります。
正の有理数 r は，半切断 { x ∈ Q | 0 < x < r } とみなせます。
命題 8.5 A, B を二つの半切断とする。 A と B の和 A + B, 積 A * B を，次で定義すると，これらは半切断である。
証明は省略します。
Q ですでに数直線上に“びっしり”並んでいるのに， さらに R まで数を拡張する理由の一つは， 直角をはさむ一辺の長さが 1 の直角二等辺三角形の対角線の長さ √2 が無理数であることがあげられるでしょう。 もう一つ，別の理由を説明します。
数の集合の，最大数について考えましょう。
{ a ∈ R | 0 < a ≤ 1 } には最大数があります。 それは 1 です。
{ a ∈ R | 0 < a < 1 } には最大数がありません。 1 です，と言いたくなりますが，1 はこの集合に属していません。 代わりに，この集合の上限は 1 である，という言い方をします。
定義 8.6 数 x が数の集合 A の上限 であるとは，次の二つの条件をみたすことをいう。
この定義にもとづくと，上の集合 { a ∈ R | 0 < a < 1 } の上限が 1 であることがわかります。
いま，有理数しか知らないと仮定し，集合 { a ∈ Q | a > 0 かつ a2 < 2 } を考えましょう。 この集合の上限は √2 です。しかし，それは Q の元ではありません。 この集合が，有理数だけを使って定義されているにもかかわらず，です。
実数まで数を拡張すると，上に有界な集合 X は上限を持ちます。 「上に有界」とは，ある数 M が存在して X の元がすべて M 以下，となることを言います。 上に述べた，正の実数の構成法では，この上限は容易に記述できます。 X のおのおのの元は，正の有理数の部分集合です。 それらすべての和集合をとると，それが X の上限になるのです。
この節では，かなり説明・証明を省きました。 興味のあるかたは， 《Rapid Construction of Real Numbers by Half-Cuts》 をご覧になってください。
複素数とは，i2 = -1 となる数の一つを i とするとき， 二つの実数 a, b に対し，a + bi と書ける数のことです。
実は，ここが一番簡単です。
二つの実数の組〈a, b〉を考えます。 ここで〈 , 〉という特別なかっこを使ったのは， ここで複素数全体の集合を作るあいだだけしか使わない，特別な記号だからです。 〈a, b〉は a + bi に対応します。 よって，次のように，たし算・かけ算を定めます。
定義 9.1
二番めの式はやや複雑ですが，宇宙人には理解してもらえます。
実数 a は，〈a, 0〉とみなせることがわかるので， C は R の拡張であることがわかります。
このように，複素数は二つの実数の組なので，確かに実在することがわかります。 高等学校では 「二乗して -1 になる数を考え，その一つを i として」 のように導入されるので，架空の数，あるいは矛盾を含む数， と考えている人もいるようですが，その心配はありません。
もう一つの構成法は，実数を係数とする，変数 X に関する多項式全体の集合 R[X] から始めるものです。
R[X] にはたし算とかけ算が定義されています。 その意味で，これは Z に似ています。
定義 9.2 R[X] の二つの元 f(X) と g(X) に対し， f(X) - g(X) が X2 + 1 で割り切れるとき f(X) 〜 g(X)，と定義する。
これが同値関係であることは，Z/m を作ったときと同じようにわかります。 この同値関係による同値類を複素数と定義します。 多項式を二次式 X2 + 1 で割ったあまりは一次式ですから， おのおのの同値類には，実数 a, b に対し，bX + a の形の元がただ一つ含まれます。 そのとき，この同値類には a + bi が対応します。
たし算に関しては，明らかでしょう。 かけ算については， (bX + a)(dX + c) = bdX2 + (ad + bc)X + ac を X2 + 1 で割ると余りは (ad + bc)X + (ac - bd) です。 これは (ac - bd) + (ad + bc)i にあたり，合っていることがわかります。
なぜ X2 + 1 で割るのかの説明はしません。 この多項式が，X に i を代入して 0 になる多項式のうちで， 最も次数の低いもの（の一つ）である，ということを注意するにとどめます，
ふつうは，複素数までで数の拡張は終わりです。 その理由の一つは，複素数を係数とする n 次方程式 anXn + an-1Xn-1 + ... + a1X + a0 = 0 が複素数の範囲で解をもつことが知られているからです。