すのものの「純正律について」（その２）

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『すのものの「純正律について」（その１）』 で示した表のうち、最も大きいものについて、 最初にとった C の音からみた周波数比とセントで示した音程を計算して表にした。

表の左上のほうの分子、右下のほうの分母では下のケタに多くの 0 が並んでいるが、 これで正しい。（近似値ではない。）

上から５行めの Cis は最初にとった C より低い、などがわかる。

一番 1 に近いのは、10 行めの His の 32805/32768, 1.953721 セントと、 それと対になる、 12 行めの Deses の 65536/32805, 1198.046279 セントである。 前者の 32805/32768, 1.953721 セントは、 ピタゴラス・コンマ 531441/524288 = 312/219, 23.460010... セントと シントニック・コンマ 81/80 = 34/(24×5), 21.506289... セントとの差に等しい。 (312/219) / (34/(24×5)) = 38×5/215 = 32805/32768 である。

平均律の音はセントで表すと 100 の整数倍になる。 ブラウザの検索機能で「00.」や「99.」をさがすと、 それに近い音がいくつかみつかる。

############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# ############# #############
  Hisis
20000000000/10460353203
1122.082120		  
Gisis
16000000000/10460353203
735.768407		 Disis
4000000000/3486784401
237.723407		 Aisis
2000000000/1162261467
939.678408		 Eisis
500000000/387420489
441.633409		 Hisis
250000000/129140163
1143.588410		  
  His
6400000000/3486784401
1051.409694		 Fisis
1600000000/1162261467
553.364694		 Cisis
400000000/387420489
55.319695		 Gisis
200000000/129140163
757.274696		 Disis
50000000/43046721
259.229697		 Aisis
25000000/14348907
961.184698		 Eisis
6250000/4782969
463.139699		 Hisis
3125000/1594323
1165.094700		  
Gis
5120000000/3486784401
665.095980		 Dis
1280000000/1162261467
167.050981		 Ais
640000000/387420489
869.005981		 Eis
160000000/129140163
370.960982		 His
80000000/43046721
1072.915983		 Fisis
20000000/14348907
574.870984		 Cisis
5000000/4782969
76.825985		 Gisis
2500000/1594323
778.780986		 Disis
625000/531441
280.735987		 Aisis
312500/177147
982.690988		 Eisis
78125/59049
484.645988		 Hisis
78125/39366
1186.600989		  
  H
2048000000/1162261467
980.737267		 Fis
512000000/387420489
482.692268		 Cis
256000000/129140163
1184.647268		 Gis
64000000/43046721
686.602269		 Dis
16000000/14348907
188.557270		 Ais
8000000/4782969
890.512271		 Eis
2000000/1594323
392.467272		 His
1000000/531441
1094.422273		 Fisis
250000/177147
596.377274		 Cisis
62500/59049
98.332275		 Gisis
31250/19683
800.287275		 Disis
15625/13122
302.242276		 Aisis
15625/8748
1004.197277		 Eisis
15625/11664
506.152278		 Hisis
15625/15552
8.107279		  
G
1638400000/1162261467
594.423553		 D
409600000/387420489
96.378554		 A
204800000/129140163
798.333555		 E
51200000/43046721
300.288555		 H
25600000/14348907
1002.243556		 Fis
6400000/4782969
504.198557		 Cis
1600000/1594323
6.153558		 Gis
800000/531441
708.108559		 Dis
200000/177147
210.063560		 Ais
100000/59049
912.018561		 Eis
25000/19683
413.973562		 His
12500/6561
1115.928562		 Fisis
3125/2187
617.883563		 Cisis
3125/2916
119.838564		 Gisis
3125/1944
821.793565		 Disis
3125/2592
323.748566		 Aisis
3125/1728
1025.703567		 Eisis
3125/2304
527.658568		 Hisis
3125/3072
29.613568		  
  B
655360000/387420489
910.064840		 F
163840000/129140163
412.019841		 C
81920000/43046721
1113.974842		 G
20480000/14348907
615.929842		 D
5120000/4782969
117.884843		 A
2560000/1594323
819.839844		 E
640000/531441
321.794845		 H
320000/177147
1023.749846		 Fis
80000/59049
525.704847		 Cis
20000/19683
27.659848		 Gis
10000/6561
729.614849		 Dis
2500/2187
231.569849		 Ais
1250/729
933.524850		 Eis
625/486
435.479851		 His
625/324
1137.434852		 Fisis
625/432
639.389853		 Cisis
625/576
141.344854		 Gisis
625/384
843.299855		 Disis
625/512
345.254855		 Aisis
1875/1024
1047.209856		 Eisis
5625/4096
549.164857		 Hisis
16875/16384
51.119858		  
Ges
524288000/387420489
523.751126		 Des
131072000/129140163
25.706127		 As
65536000/43046721
727.661128		 Es
16384000/14348907
229.616129		 B
8192000/4782969
931.571129		 F
2048000/1594323
433.526130		 C
1024000/531441
1135.481131		 G
256000/177147
637.436132		 D
64000/59049
139.391133		 A
32000/19683
841.346134		 E
8000/6561
343.301135		 H
4000/2187
1045.256136		 Fis
1000/729
547.211136		 Cis
250/243
49.166137		 Gis
125/81
751.121138		 Dis
125/108
253.076139		 Ais
125/72
955.031140		 Eis
125/96
456.986141		 His
125/64
1158.941142		 Fisis
375/256
660.896142		 Cisis
1125/1024
162.851143		 Gisis
3375/2048
864.806144		 Disis
10125/8192
366.761145		 Aisis
30375/16384
1068.716146		 Eisis
91125/65536
570.671147		 Hisis
273375/262144
72.626148		  
  Bes
209715200/129140163
839.392413		 Fes
52428800/43046721
341.347414		 Ces
26214400/14348907
1043.302415		 Ges
6553600/4782969
545.257416		 Des
1638400/1594323
47.212416		 As
819200/531441
749.167417		 Es
204800/177147
251.122418		 B
102400/59049
953.077419		 F
25600/19683
455.032420		 C
12800/6561
1156.987421		 G
3200/2187
658.942422		 D
800/729
160.897423		 A
400/243
862.852423		 E
100/81
364.807424		 H
50/27
1066.762425		 Fis
25/18
568.717426		 Cis
25/24
70.672427		 Gis
25/16
772.627428		 Dis
75/64
274.582429		 Ais
225/128
976.537429		 Eis
675/512
478.492430		 His
2025/1024
1180.447431		 Fisis
6075/4096
682.402432		 Cisis
18225/16384
184.357433		 Gisis
54675/32768
886.312434		 Disis
164025/131072
388.267435		 Aisis
492075/262144
1090.222436		 Eisis
1476225/1048576
592.177436		 Hisis
4428675/4194304
94.132437		  
Geses
167772160/129140163
453.078699		 Deses
83886080/43046721
1155.033700		 Ases
20971520/14348907
656.988701		 Eses
5242880/4782969
158.943702		 Bes
2621440/1594323
860.898703		 Fes
655360/531441
362.853703		 Ces
327680/177147
1064.808704		 Ges
81920/59049
566.763705		 Des
20480/19683
68.718706		 As
10240/6561
770.673707		 Es
2560/2187
272.628708		 B
1280/729
974.583709		 F
320/243
476.538710		 C
160/81
1178.493710		 G
40/27
680.448711		 D
10/9
182.403712		 A
5/3
884.358713		 E
5/4
386.313714		 H
15/8
1088.268715		 Fis
45/32
590.223716		 Cis
135/128
92.178716		 Gis
405/256
794.133717		 Dis
1215/1024
296.088718		 Ais
3645/2048
998.043719		 Eis
10935/8192
499.998720		 His
32805/32768
1.953721		 Fisis
98415/65536
703.908722		 Cisis
295245/262144
205.863723		 Gisis
885735/524288
907.818723		 Disis
2657205/2097152
409.773724		 Aisis
7971615/4194304
1111.728725		 Eisis
23914845/16777216
613.683726		 Hisis
71744535/67108864
115.638727		  
  Beses
67108864/43046721
768.719986		 Feses
16777216/14348907
270.674987		 Ceses
8388608/4782969
972.629988		 Geses
2097152/1594323
474.584989		 Deses
1048576/531441
1176.539990		 Ases
262144/177147
678.494990		 Eses
65536/59049
180.449991		 Bes
32768/19683
882.404992		 Fes
8192/6561
384.359993		 Ces
4096/2187
1086.314994		 Ges
1024/729
588.269995		 Des
256/243
90.224996		 As
128/81
792.179997		 Es
32/27
294.134997		 B
16/9
996.089998		 F
4/3
498.044999		 C
1/1
0.000000		 G
3/2
701.955001		 D
9/8
203.910002		 A
27/16
905.865003		 E
81/64
407.820003		 H
243/128
1109.775004		 Fis
729/512
611.730005		 Cis
2187/2048
113.685006		 Gis
6561/4096
815.640007		 Dis
19683/16384
317.595008		 Ais
59049/32768
1019.550009		 Eis
177147/131072
521.505010		 His
531441/524288
23.460010		 Fisis
1594323/1048576
725.415011		 Cisis
4782969/4194304
227.370012		 Gisis
14348907/8388608
929.325013		 Disis
43046721/33554432
431.280014		 Aisis
129140163/67108864
1133.235015		 Eisis
387420489/268435456
635.190016		 Hisis
1162261467/1073741824
137.145016		  
  Beses
4194304/2657205
790.226276		 Feses
1048576/885735
292.181277		 Ceses
524288/295245
994.136277		 Geses
131072/98415
496.091278		 Deses
65536/32805
1198.046279		 Ases
16384/10935
700.001280		 Eses
4096/3645
201.956281		 Bes
2048/1215
903.911282		 Fes
512/405
405.866283		 Ces
256/135
1107.821284		 Ges
64/45
609.776284		 Des
16/15
111.731285		 As
8/5
813.686286		 Es
6/5
315.641287		 B
9/5
1017.596288		 F
27/20
519.551289		 C
81/80
21.506290		 G
243/160
723.461290		 D
729/640
225.416291		 A
2187/1280
927.371292		 E
6561/5120
429.326293		 H
19683/10240
1131.281294		 Fis
59049/40960
633.236295		 Cis
177147/163840
135.191296		 Gis
531441/327680
837.146297		 Dis
1594323/1310720
339.101297		 Ais
4782969/2621440
1041.056298		 Eis
14348907/10485760
543.011299		 His
43046721/41943040
44.966300		 Fisis
129140163/83886080
746.921301		 Cisis
387420489/335544320
248.876302		 Gisis
1162261467/671088640
950.831303		 Disis
3486784401/2684354560
452.786303
  Beses
262144/164025
811.732565		 Feses
65536/54675
313.687566		 Ceses
32768/18225
1015.642567		 Geses
8192/6075
517.597568		 Deses
2048/2025
19.552569		 Ases
1024/675
721.507570		 Eses
256/225
223.462571		 Bes
128/75
925.417571		 Fes
32/25
427.372572		 Ces
48/25
1129.327573		 Ges
36/25
631.282574		 Des
27/25
133.237575		 As
81/50
835.192576		 Es
243/200
337.147577		 B
729/400
1039.102577		 F
2187/1600
541.057578		 C
6561/6400
43.012579		 G
19683/12800
744.967580		 D
59049/51200
246.922581		 A
177147/102400
948.877582		 E
531441/409600
450.832583		 H
1594323/819200
1152.787584		 Fis
4782969/3276800
654.742584		 Cis
14348907/13107200
156.697585		 Gis
43046721/26214400
858.652586		 Dis
129140163/104857600
360.607587		 Ais
387420489/209715200
1062.562588		 Eis
1162261467/838860800
564.517589		 His
3486784401/3355443200
66.472590		  
  Beses
16384/10125
833.238855		 Feses
4096/3375
335.193856		 Ceses
2048/1125
1037.148857		 Geses
512/375
539.103858		 Deses
128/125
41.058858		 Ases
192/125
743.013859		 Eses
144/125
244.968860		 Bes
216/125
946.923861		 Fes
162/125
448.878862		 Ces
243/125
1150.833863		 Ges
729/500
652.788864		 Des
2187/2000
154.743864		 As
6561/4000
856.698865		 Es
19683/16000
358.653866		 B
59049/32000
1060.608867		 F
177147/128000
562.563868		 C
531441/512000
64.518869		 G
1594323/1024000
766.473870		 D
4782969/4096000
268.428871		 A
14348907/8192000
970.383871		 E
43046721/32768000
472.338872		 H
129140163/65536000
1174.293873		 Fis
387420489/262144000
676.248874		 Cis
1162261467/1048576000
178.203875		 Gis
3486784401/2097152000
880.158876		 Dis
10460353203/8388608000
382.113877
  Beses
1024/625
854.745145		 Feses
768/625
356.700145		 Ceses
1152/625
1058.655146		 Geses
864/625
560.610147		 Deses
648/625
62.565148		 Ases
972/625
764.520149		 Eses
729/625
266.475150		 Bes
2187/1250
968.430151		 Fes
6561/5000
470.385151		 Ces
19683/10000
1172.340152		 Ges
59049/40000
674.295153		 Des
177147/160000
176.250154		 As
531441/320000
878.205155		 Es
1594323/1280000
380.160156		 B
4782969/2560000
1082.115157		 F
14348907/10240000
584.070158		 C
43046721/40960000
86.025158		 G
129140163/81920000
787.980159		 D
387420489/327680000
289.935160		 A
1162261467/655360000
991.890161		 E
3486784401/2621440000
493.845162		 H
10460353203/5242880000
1195.800163		  
  Beses
5184/3125
876.251434		 Feses
3888/3125
378.206435		 Ceses
5832/3125
1080.161436		 Geses
4374/3125
582.116437		 Deses
6561/6250
84.071438		 Ases
19683/12500
786.026438		 Eses
59049/50000
287.981439		 Bes
177147/100000
989.936440		 Fes
531441/400000
491.891441		 Ces
1594323/800000
1193.846442		 Ges
4782969/3200000
695.801443		 Des
14348907/12800000
197.756444		 As
43046721/25600000
899.711445		 Es
129140163/102400000
401.666445		 B
387420489/204800000
1103.621446		 F
1162261467/819200000
605.576447		 C
3486784401/3276800000
107.531448		 G
10460353203/6553600000
809.486449		 D
31381059609/26214400000
311.441450
  Beses
26244/15625
897.757724		 Feses
19683/15625
399.712725		 Ceses
59049/31250
1101.667725		 Geses
177147/125000
603.622726		 Deses
531441/500000
105.577727		 Ases
1594323/1000000
807.532728		 Eses
4782969/4000000
309.487729		 Bes
14348907/8000000
1011.442730		 Fes
43046721/32000000
513.397731		 Ces
129140163/128000000
15.352732		 Ges
387420489/256000000
717.307732		 Des
1162261467/1024000000
219.262733		 As
3486784401/2048000000
921.217734		 Es
10460353203/8192000000
423.172735		 B
31381059609/16384000000
1125.127736		  
  Beses
531441/312500
919.264013		 Feses
1594323/1250000
421.219014		 Ceses
4782969/2500000
1123.174015		 Geses
14348907/10000000
625.129016		 Deses
43046721/40000000
127.084017		 Ases
129140163/80000000
829.039018		 Eses
387420489/320000000
330.994019		 Bes
1162261467/640000000
1032.949019		 Fes
3486784401/2560000000
534.904020		 Ces
10460353203/10240000000
36.859021		 Ges
31381059609/20480000000
738.814022		 Des
94143178827/81920000000
240.769023
  Beses
43046721/25000000
940.770303		 Feses
129140163/100000000
442.725304		 Ceses
387420489/200000000
1144.680305		 Geses
1162261467/800000000
646.635306		 Deses
3486784401/3200000000
148.590306		 Ases
10460353203/6400000000
850.545307		 Eses
31381059609/25600000000
352.500308		 Bes
94143178827/51200000000
1054.455309		  
  Beses
3486784401/2000000000
962.276593		 Feses
10460353203/8000000000
464.231593		 Ceses
31381059609/16000000000
1166.186594		 Geses
94143178827/64000000000
668.141595		 Deses
282429536481/256000000000
170.096596
  Beses
282429536481/160000000000
983.782882		  

上の表は、 Ｃ言語による次のプログラムに出力させたものである。 html の table として出力される。 周波数比は有理数であるが、 その分母・分子はそれぞれ double 型に格納した。 int 型が 32 ビットであっても値を格納しきれないからである。 double 型の規格は知らないので、 このプログラムが、 ANSI C 準拠のすべてのコンパイラによって、 上と同じ表を出力する実行ファイルを生みだすかどうかは、 私にはわからない。 （十進で 12 ケタの整数が扱える必要がある。）

どの音の周波数を 1 にとるかは、 プログラム冒頭の #define 文を手直しすれば変更できる。 本来なら、表全体の行の数・列の数も #define 文で変えられることが望ましいが、それはできなかった。

表の地の色は、最初のほうの #define 文で変更できる。 このページのソースファイルを元に、 エディタの機能を使って置換するほうが楽かもしれない。

付）以下のプログラムは、LI と CO の値を変えてコンパイルすると正しい結果が得られなかったバグを、 2010-06-21 (2) に修正したものである。 

#include <stdio.h>
#include <math.h>   /* log10, floor */

#define LIN 21  /* 行の数（変えるとプログラム自体にも手直しが必要） */
#define COL 74  /* 列の数（変えるとプログラム自体にも手直しが必要） */
#define LI  10  /* 周波数 1 を何行めにおくか（変えてよい） */
#define CO  33  /* 周波数 1 を何列めにおくか（変えてよい） */

double val[2];  /* 分子、分母 */

char* name[] = {"Beses",
                "Feses", "Ceses", "Geses", "Deses", "Ases", "Eses", "Bes", \
                "Fes", "Ces", "Ges", "Des", "As", "Es", "B", \
                "F", "C", "G", "D", "A", "E", "H", \
                "Fis", "Cis", "Gis", "Dis", "Ais", "Eis", "His", \
                "Fisis", "Cisis", "Gisis", "Disis", "Aisis", "Eisis", "Hisis" };

char* color[] = { "ffffdd", "eeddff", "ddffdd", "ffddee", "ddffff", "ffeedd", \
                  "ddddff", "eeffdd", "ffddff", "ddffee", "ffdddd", "ddeeff" };
        /* （平均律で）As, Es, B, F, C, G; D, A, E, H, Fis, Cis の地の色（変えてよい） */

void standardize(double* a);
double power(double base, int n);

main() {
    int i, j, n;

    printf("<html><body>\n<table border=\"1\">\n");
    printf("<tr>\n");
    for (j = 0; j < COL; j++) {
        printf("\t<td><font color=\"white\">#############</font></td>\n");
    }
    printf("</tr>\n");
    for (i = 0; i < LIN; i++) {
        printf("<tr align=\"center\">\n");
        if (i <= LIN / 2) {
            if (i % 2 == 0) {
                printf("\t<td>&nbsp;</td>\n"); j = 1;
            } else {
                j = 0;
            }
        } else {
            printf("\t<td colspan=\"%d\">&nbsp;</td>\n", 7*i - COL + 5); j = 7*i - COL + 5;
        }

        for (   ; j < 7*i + 2 && j < COL - 1; j += 2) {
            if (i <= LI) {
                val[0] = power(5, LI - i); val[1] = 1;
            } else {
                val[0] = 1; val[1] = power(5, i - LI);
            }
            if (i + j < LI + CO) {
                val[1] *= power(3, ((LI + CO) - (i + j) + 1)/2);
            } else {
                val[0] *= power(3, ((i + j) - (LI + CO))/2);
            }
            n = 35 - (7*i+1)/2 + j/2;           /* この値で音名が決まる */
            standardize(val);
            printf("\t<td colspan=\"2\" bgcolor=\"#%s\">", color[n%12]);
            printf("%s<br>%.0f/%.0f<br>", name[n], val[0], val[1]);
            printf("%f</td>\n", log10(val[0]/val[1])/log10(2)*1200);
        }
        if (j <= COL-1) {
            if (COL-1-j > 1) {
                printf("\t<td colspan=\"%d\">&nbsp;</td>\n", COL-j);
            } else {
                printf("\t<td>&nbsp;</td>\n");
            }
        }
        printf("</tr>\n");
    }
    printf("</table>\n");
}


/* a[] を分数とみたとき、1 以上 2 未満に規格化する */
void standardize(double* a) {
    while (a[0] < a[1]) {
        if (floor(a[1] / 2) == a[1] / 2) {
            a[1] /= 2;
        } else {
            a[0] *= 2;
        }
    }
    while (a[0] / 2 >= a[1]) {
        if (floor(a[0] / 2) == a[0] / 2) {
            a[0] /= 2;
        } else {
            a[1] *= 2;
        }
    }
}


/* base の n 乗を返す。K&R2 にあるのとほぼ同じ */
double power(double base, int n) {
    int i;
    double p;

    p = 1;
    for (i = 0; i < n; i++) {
        p *= base;
    }
    return p;
}

すのもの Sunomono